Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Медианы треугольника АД1С пересекаются в точке М. Разложить вектор...

Вектор ВМ = (а + в + с) / 2.

Для разложения вектора ВМ по векторам ВА, ВВ1 и ВС, мы можем воспользоваться правилом треугольника. Поскольку точка М является точкой пересечения медиан треугольника АД1С, она делит каждую медиану в отношении 2:1. Это означает, что вектор ВМ можно представить как сумму двух векторов: ВА и одной из медиан, например ВС.

Таким образом, вектор ВМ = ВА + ВС = а + с.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу!

Для решения задачи нам нужно разложить вектор ( \mathbf{BM} ) по векторам ( \mathbf{BA} = \mathbf{a} ), ( \mathbf{BB_1} = \mathbf{b} ) и ( \mathbf{BC} = \mathbf{c} ).

1. Найдем координаты точек в системе координат:

   Пусть ( B ) находится в начале координат ((0, 0, 0)), тогда:

   • ( A ) имеет координаты ((a_1, a_2, a_3))
   • ( B_1 ) имеет координаты ((b_1, b_2, b_3))
   • ( C ) имеет координаты ((c_1, c_2, c_3))
   • ( D ) имеет координаты ((d_1, d_2, d_3))

2. Найдем координаты точек ( A_1 ), ( D_1 ) и ( C_1 ):

   • ( A_1 ) имеет координаты ((a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3))
   • ( D_1 ) имеет координаты ((d_1, d_2, d_3) + (b_1, b_2, b_3) = (d_1 + b_1, d_2 + b_2, d_3 + b_3))
   • ( C_1 ) имеет координаты ((c_1, c_2, c_3) + (b_1, b_2, b_3) = (c_1 + b_1, c_2 + b_2, c_3 + b_3))

3. Определим координаты точек треугольника ( AD_1C ):

   • ( A ) имеет координаты ((a_1, a_2, a_3))
   • ( D_1 ) имеет координаты ((d_1 + b_1, d_2 + b_2, d_3 + b_3))
   • ( C ) имеет координаты ((c_1, c_2, c_3))

4. Найдем координаты точки пересечения медиан ( M ) треугольника ( AD_1C ):

   Точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2:1. Координаты точки ( M ) можно найти как среднее арифметическое координат вершин треугольника: [ M = \left( \frac{a_1 + d_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{a_2 + d_2 + b_2 + c_2}{3}, \frac{a_3 + d_3 + b_3 + c_3}{3} \right) ]

5. Найдем вектор ( \mathbf{BM} ):

   Вектор ( \mathbf{BM} ) равен разности координат ( M ) и ( B ): [ \mathbf{BM} = M - B = \left( \frac{a_1 + d_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{a_2 + d_2 + b_2 + c_2}{3}, \frac{a_3 + d_3 + b_3 + c_3}{3} \right) - (0, 0, 0) ]

6. Разложим вектор ( \mathbf{BM} ) по векторам ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ):

   Итак, мы имеем: [ \mathbf{BM} = \left( \frac{a_1 + d_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{a_2 + d_2 + b_2 + c_2}{3}, \frac{a_3 + d_3 + b_3 + c_3}{3} \right) ]

   Мы знаем, что: [ \mathbf{BA} = \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) ] [ \mathbf{BB_1} = \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) ] [ \mathbf{BC} = \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) ]

   Следовательно, вектор ( \mathbf{BM} ) можно записать в виде: [ \mathbf{BM} = \frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \frac{1}{3} \mathbf{c} ]

7. Упростим выражение:

   [ \mathbf{BM} = \frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \frac{1}{3} \mathbf{c} ] [ \mathbf{BM} = \frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{c} ] [ \mathbf{BM} = \frac{2}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{c} ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{BM} ) разложен по векторам ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ) следующим образом: [ \mathbf{BM} = \frac{2}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{c} ]