Дан куб АВСDA1B1C1D1 определите являются ли вектора компланарными: а) АВ1, АD и В1D б) АВ, АD,АА1 №2...

1. а) Для того чтобы определить, являются ли вектора компланарными, необходимо проверить их линейную зависимость. Вектора АВ1, АD и В1D будут компланарными, если их линейная комбинация равна нулевому вектору. То есть, если существуют такие коэффициенты x, y, z, что xАВ1 + yАD + z*В1D = 0. Если такие коэффициенты существуют и не все они равны нулю, то вектора являются компланарными.

б) Вектора АВ, АD и АА1 будут компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из координат векторов. Если смешанное произведение равно нулю, то вектора компланарны.

1. а) Вектор, начало и конец которого являются вершинами куба и равен сумме векторов C1B1, C1D1 и CC1, можно найти следующим образом: начало вектора - вершина C1, конец вектора - вершина B1. Таким образом, искомый вектор будет равен B1C1.

б) Вектор, равный сумме векторов AB, A1D1 и AA1, можно найти, начиная из точки A и перемещаясь по векторам AB, A1D1 и AA1. Таким образом, конечная точка вектора будет точкой A1.

1. а) Для разложения вектора AC1 по векторам AB, AD и AA1 необходимо представить вектор AC1 в виде линейной комбинации векторов AB, AD и AA1. То есть, найти такие коэффициенты x, y, z, что AC1 = xAB + yAD + z*AA1.

б) Для разложения вектора AA1 по векторам D1A1, D1C1 и A1C необходимо представить вектор AA1 в виде линейной комбинации векторов D1A1, D1C1 и A1C. То есть, найти такие коэффициенты x, y, z, что AA1 = xD1A1 + yD1C1 + z*A1C.

Ответ на вопрос №1: а) Компланарность векторов AB1, AD, B1D. Векторы AB1, AD и B1D не являются компланарными, так как они не лежат в одной плоскости. Вектор AD лежит в основании куба (плоскости ABCD), в то время как векторы AB1 и B1D связывают основание куба с его верхом и не могут быть представлены как комбинация векторов, лежащих в плоскости ABCD.

б) Компланарность векторов AB, AD, AA1. Векторы AB и AD лежат в одной плоскости (основание куба), вектор AA1 — перпендикулярен этой плоскости, так как он направлен вверх. Таким образом, векторы AB, AD и AA1 являются компланарными, потому что вектор AA1 перпендикулярен плоскости, образованной векторами AB и AD.

Ответ на вопрос №2: а) Вектор, равный сумме векторов C1B1 + C1D1 + CC1. Векторы C1B1 и C1D1 образуют две стороны верхней грани куба, ищем вектор, который начинается в точке C и заканчивается в точке D1. Это вектор CD1.

б) Вектор, равный сумме векторов AB + A1D1 + AA1. Векторы AB и AA1 формируют две стороны куба, A1D1 — сторона верхней грани, идущая от A1 к D1. Вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке B1, будет вектором AB1.

Ответ на вопрос №3: а) Разложение вектора AC1 по векторам AB, AD и AA1. Вектор AC1 можно разложить как сумму трех векторов: AC1 = AB + BC1, где BC1 можно выразить через векторы базиса: BC1 = BD + DC1. Так как BD = AD и DC1 = AA1, то: AC1 = AB + AD + AA1.

б) Разложение вектора AA1 по векторам D1A1, D1C1 и A1C. Вектор AA1 перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы D1A1, D1C1, A1C. Однако, поскольку AA1 направлен вдоль одной из осей куба, его невозможно выразить через эти три вектора, так как все они лежат в плоскости, параллельной основанию куба.

1) а) Вектора компланарными не являются. б) Векторы компланарны.

2) а) Вектор равен СС1. б) Вектор равен BD1.

3) а) Вектор АС1 = АВ + АД + АА1. б) Вектор АА1 = D1A1 + D1C1 + A1C.