Дан куб abcda1b1c1d1 с ребром равным 1, вектор ad=i, ab=j, aa1=k, укажите координаты вектора ca1

Координаты вектора ca1 равны (-1, 1, 1).

Давайте разберемся с кубом ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) и его координатами в трёхмерной системе координат.

1. Заданные векторы и точки:

   • Вектор ( \overrightarrow{AD} = \mathbf{i} ) указывает, что перемещение из точки ( A ) в точку ( D ) происходит вдоль оси ( x ) на единицу.
   • Вектор ( \overrightarrow{AB} = \mathbf{j} ) указывает, что перемещение из точки ( A ) в точку ( B ) происходит вдоль оси ( y ) на единицу.
   • Вектор ( \overrightarrow{AA_1} = \mathbf{k} ) указывает, что перемещение из точки ( A ) в точку ( A_1 ) происходит вдоль оси ( z ) на единицу.

2. Координаты точек:

   • Пусть ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ).
   • Тогда ( D ), находясь на единицу вдоль ( x )-оси от ( A ), будет иметь координаты ( (1, 0, 0) ).
   • ( B ), находясь на единицу вдоль ( y )-оси от ( A ), будет иметь координаты ( (0, 1, 0) ).
   • ( A_1 ), находясь на единицу вдоль ( z )-оси от ( A ), будет иметь координаты ( (0, 0, 1) ).

3. Найдем координаты точки ( C ):

   • Точка ( C ) определяется как точка, которая на единицу вдоль оси ( x ) от ( B ) и на единицу вдоль оси ( y ) от ( D ).
   • Таким образом, ( C ) имеет координаты ( (1, 1, 0) ).

4. Координаты вектора ( \overrightarrow{CA_1} ):

   Чтобы найти вектор ( \overrightarrow{CA_1} ), мы вычтем координаты точки ( C ) из координат точки ( A_1 ):

   [ \overrightarrow{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1) ]

Таким образом, координаты вектора ( \overrightarrow{CA_1} ) равны ( (-1, -1, 1) ).

Для нахождения координат вектора ca1 необходимо сначала выразить вектор ca через известные векторы.

Известно, что вектор ca = -ad - ab. Так как ad = i и ab = j, то вектор ca = -i - j.

Теперь для нахождения вектора a1c1 можно воспользоваться геометрическим свойством, что вектор a1c1 = -ca1. Так как ca1 = -a1c1, то координаты вектора ca1 будут противоположными координатам вектора ca.

Итак, координаты вектора ca1 будут равны i + j.