Дан куб ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и BM, где M-середина ребра DD1 ПОЖАЛУЙСТА ОЧЕНЬ...

Для того чтобы найти угол между прямыми ( AD_1 ) и ( BM ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), где ( M ) — середина ребра ( DD_1 ), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты точек:

   • Пусть куб имеет ребро длиной ( a ), и его вершины имеют следующие координаты:
     • ( A(0, 0, 0) )
     • ( B(a, 0, 0) )
     • ( C(a, a, 0) )
     • ( D(0, a, 0) )
     • ( A_1(0, 0, a) )
     • ( B_1(a, 0, a) )
     • ( C_1(a, a, a) )
     • ( D_1(0, a, a) )

2. Найти координаты точек ( D_1 ) и ( M ):

   • ( D_1(0, a, a) )
   • ( M ) — середина ребра ( DD_1 ), поэтому её координаты будут: [ M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2} \right) = (0, a, \frac{a}{2}) ]

3. Определить координаты точек ( A ) и ( B ):

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(a, 0, 0) )

4. Записать векторные уравнения прямых ( AD_1 ) и ( BM ):

   • Вектор ( \overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a) )
   • Вектор ( \overrightarrow{BM} = M - B = (0, a, \frac{a}{2}) - (a, 0, 0) = (-a, a, \frac{a}{2}) )

5. Выписать векторы и найти угол между ними:

   • ( \overrightarrow{AD_1} = (0, a, a) )
   • ( \overrightarrow{BM} = (-a, a, \frac{a}{2}) )

6. Использовать скалярное произведение векторов для нахождения угла:

   • Скалярное произведение векторов: [ \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot \frac{a}{2} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} ]
   • Длина вектора ( \overrightarrow{AD_1} ): [ |\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]
   • Длина вектора ( \overrightarrow{BM} ): [ |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2} ]

7. Использовать формулу для нахождения косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{AD_1}| \cdot |\overrightarrow{BM}|} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{2} \cdot \frac{3a}{2}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{3a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

8. Найти угол ( \theta ):

   • Так как ( \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} ), то ( \theta = 45^\circ ).

Таким образом, угол между прямыми ( AD_1 ) и ( BM ) в заданном кубе равен ( 45^\circ ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство параллельности прямых в пространстве.

Поскольку M - середина ребра DD1, то отрезок DM равен отрезку MD1, и он делится пополам плоскостью, проходящей через середину ребра DD1 и параллельной плоскости ABCD. Поскольку AD1 и BM лежат в разных плоскостях, их пересечение AM будет линией, параллельной AD1 и BM.

Таким образом, угол между прямыми AD1 и BM равен углу между AD1 и AM (или BM и AM). Поскольку AM параллелен AD1, то угол между ними равен углу между AM и плоскостью ABCD.

Но так как AD1 и BM пересекаются в точке M, то угол между прямыми AD1 и BM равен углу между прямыми AD1 и AM.

Таким образом, угол между прямыми AD1 и BM будет равен углу между прямыми AD1 и AM, который равен углу между AD1 и плоскостью ABCD.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти угол между прямыми AD1 и BM в данной геометрической задаче.