Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1 параллельна...

Для доказательства параллельности плоскостей нужно показать, что углы между этими плоскостями равны. Поскольку плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1 параллельна плоскости (ACB1), то треугольник ACB1 равнобедренный. Периметр треугольника ACB1 равен 2 + 2 + 2√2 = 2(1 + √2) см.

Для доказательства того, что плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1 параллельна плоскости (ACB1), обратимся к свойствам параллелограмма.

По свойству параллелограмма диагонали делятся друг другом пополам. В данном случае отрезок AC диагональ параллелограмма ABCB1B1, а точка М - середина стороны AB. Таким образом, AM = MC. Аналогично, BM = MB1 и BB1 = BM.

Таким образом, плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1, параллельна плоскости (ACB1).

Для вычисления периметра треугольника ACB1 найдем длину стороны AC. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 2^2 + 2^2 AC^2 = 4 + 4 AC^2 = 8 AC = √8 = 2√2

Теперь можем найти периметр треугольника ACB1: Периметр = AC + AB + BC Периметр = 2√2 + 2 + 2 Периметр = 2 + 2 + 2√2 Периметр = 4 + 2√2 Периметр ≈ 7,83 см

Таким образом, периметр треугольника ACB1 составляет около 7,83 см.

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с ребром длиной ( a = 2 ) см.

Часть 1: Докажем параллельность плоскостей.

Пусть ( M ), ( N ) и ( P ) — середины рёбер ( AB ), ( BC ) и ( BB_1 ) соответственно. Мы должны доказать, что плоскость ( MNP ) параллельна плоскости ( (ACB_1) ).

1. Найдем координаты точек:

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(a, 0, 0) = (2, 0, 0) )
   • ( C(a, a, 0) = (2, 2, 0) )
   • ( B_1(a, 0, a) = (2, 0, 2) )
   • Плоскость ( (ACB_1) ) проходит через точки ( A(0, 0, 0) ), ( C(2, 2, 0) ), ( B_1(2, 0, 2) ).

2. Найдем координаты середины рёбер:

   • ( M ) — середина ( AB ): [ M \left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (1, 0, 0) ]
   • ( N ) — середина ( BC ): [ N \left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (2, 1, 0) ]
   • ( P ) — середина ( BB_1 ): [ P \left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2}\right) = (2, 0, 1) ]

3. Проверим параллельность плоскостей:

   Для этого найдем нормальные векторы плоскостей ( MNP ) и ( (ACB_1) ) и покажем, что они коллинеарны (параллельны).

   • Вектор ( AC ): ( \vec{AC} = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0) )
   • Вектор ( AB_1 ): ( \vec{AB_1} = B_1 - A = (2, 0, 2) - (0, 0, 0) = (2, 0, 2) )
   • Векторное произведение ( \vec{n}_{ACB_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{matrix} \right| = (4 \mathbf{i} - 4 \mathbf{j} - 4 \mathbf{k}) )

   Найдем нормальный вектор плоскости ( MNP ):

   • Вектор ( MN ): ( \vec{MN} = N - M = (2, 1, 0) - (1, 0, 0) = (1, 1, 0) )
   • Вектор ( MP ): ( \vec{MP} = P - M = (2, 0, 1) - (1, 0, 0) = (1, 0, 1) )
   • Векторное произведение ( \vec{n}_{MNP} = \vec{MN} \times \vec{MP} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = (1 \mathbf{i} - 1 \mathbf{j} - 1 \mathbf{k}) )

   Векторы ( \vec{n}_{ACB1} = (4, -4, -4) ) и ( \vec{n}{MNP} = (1, -1, -1) ) коллинеарны (один является множителем другого), следовательно, плоскости параллельны.

Часть 2: Вычислим периметр треугольника ( ACB_1 ).

1. Найдем длины сторон треугольника ( ACB_1 ):

   • ( AC ): [ |AC| = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]
   • ( AB_1 ): [ |AB_1| = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]
   • ( CB_1 ): [ |CB_1| = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

2. Периметр треугольника ( ACB_1 ):

   [ P = |AC| + |AB_1| + |CB_1| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} ]

Таким образом, периметр треугольника ( ACB_1 ) равен ( 6\sqrt{2} ) см.