Четырехугольник ABCD-параллелограмм. Найдите векторы: 1)AB-DC+BC 2)AD-BA+DB+DC 3)AB+CA-DA

1) AB - DC + BC = AB + BC - DC = AC

2) AD - BA + DB + DC = AD + DB - BA + DC = AB + DC

3) AB + CA - DA = AB + AC - AD = BC

Чтобы решить задачи с векторами в параллелограмме, нужно использовать свойства параллелограмма и операции с векторами.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны: ( \vec{AB} = \vec{DC} ) и ( \vec{AD} = \vec{BC} ).
2. Диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам.

Теперь рассмотрим каждый из векторных выражений.

1) ( \vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC} )

Используя свойство, что ( \vec{AB} = \vec{DC} ), можно упростить выражение: [ \vec{AB} - \vec{DC} = \vec{0} ] Следовательно: [ \vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{BC} = \vec{BC} ] Ответ: ( \vec{BC} )

2) ( \vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DB} + \vec{DC} )

Сначала заметим, что ( \vec{BA} = -\vec{AB} ), и используя свойства параллелограмма, преобразуем: [ \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \quad \text{(так как } \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \text{ в параллелограмме)} ] [ \vec{DB} = -\vec{BD} ] Теперь подставим: [ \vec{AD} - \vec{AB} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{AD} - \vec{AB} - \vec{BD} + \vec{DC} ] Известно, что ( \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} ), и ( \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} ), значит: [ \vec{AD} - \vec{AD} + \vec{AC} = \vec{AC} ] Ответ: ( \vec{AC} )

3) ( \vec{AB} + \vec{CA} - \vec{DA} )

Используем тот факт, что вектор от ( C ) к ( A ) равен минус вектору от ( A ) к ( C ), то есть ( \vec{CA} = -\vec{AC} ). Также учтём, что ( \vec{DA} = -\vec{AD} ): [ \vec{AB} + \vec{CA} - \vec{DA} = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD} ] Поскольку ( \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} ), упростим выражение: [ \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0} ] Ответ: ( \vec{0} )

Так, мы последовательно использовали свойства параллелограмма и операции с векторами для упрощения заданных выражений.

1) AB-DC+BC = 0 2) AD-BA+DB+DC = 0 3) AB+CA-DA = 0