Через вершину тупого угла В параллелограмма ABCD проведена высота ВК к стороне AD, AB = 9 см, АК = 6 см, DK = 12 см. а) Вычислите длину проекции стороны ВС на прямую CD б) Подобны ли треугольники DBK и DBM (M - проекция точки В на сторону CD)?
Заранее спасибо!
Для решения данной задачи начнем с пункта а).
а) Нам нужно вычислить длину проекции стороны BC на прямую CD. Так как BK - высота, проведенная из вершины B параллелограмма ABCD на сторону AD, и по условию задачи AK = 6 см и DK = 12 см, то AD = AK + DK = 6 см + 12 см = 18 см.
Теперь рассмотрим треугольник DBK. Так как BK - это высота, опущенная из вершины B на сторону AD, то треугольник DBK прямоугольный с прямым углом при вершине K.
В параллелограмме ABCD сторона BC параллельна стороне AD и равна ей. Следовательно, BC также равна 18 см. Поскольку BK перпендикулярна AD, то проекция BC на CD равна длине BC, то есть 18 см.
б) Теперь рассмотрим подобие треугольников DBK и DBM.
Точка M - это проекция точки B на сторону CD. Поскольку CD параллельна AD, а BK - высота, то BM также будет высотой, опущенной из вершины B на сторону CD. Это означает, что треугольники DBK и DBM оба являются прямоугольными, и угол DBK равен углу DBM, так как оба они являются прямыми.
Однако, для подобия треугольников необходимо также равенство углов при вершинах B, что мы уже установили, и соотношение соответствующих сторон. В данном случае, стороны DB в обоих треугольниках равны, так как это одна и та же сторона. Но стороны BK и BM не обязательно равны, и без дополнительной информации о расстоянии от B до CD (или иной связанной информации), нельзя утверждать, что треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, без дополнительных данных, мы не можем утверждать, что треугольники DBK и DBM подобны.
a) Для вычисления длины проекции стороны ВС на прямую CD найдем сначала длину стороны ВС. Так как параллелограмм ABCD, то BC = AD = 9 см. Теперь рассмотрим треугольник BCK. По теореме Пифагора: CK^2 = BC^2 - BK^2 CK^2 = 9^2 - 6^2 CK^2 = 81 - 36 CK^2 = 45 CK = √45 = 3√5 см
Теперь найдем проекцию стороны ВС на прямую CD. Обозначим точку проекции как L. Так как треугольник BCL прямоугольный, то BL = CK = 3√5 см.
b) Треугольники DBK и DBM подобны. Это следует из того, что у них углы при вершине B равны (так как это углы, вписанные в одну дугу), угол D равен прямому углу (по условию задачи), и угол M равен углу K (так как это соответствующие углы). Таким образом, треугольники DBK и DBM подобны по двум сторонам и углу.
