Через точку, делящую высоту конуса в отношение 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать подобие конусов. Пусть V - объем исходного конуса, V1 - объем отсекаемого конуса, h - высота исходного конуса, h1 - высота отсекаемого конуса.

По условию задачи, точка делит высоту конуса в отношении 1:2, следовательно, если обозначить высоту отсекаемого конуса как h1, то h1 = h/3.

Также известно, что V1 = 10.

По свойствам подобных фигур, отношение объемов конусов равно кубу отношения высот (по формуле V1/V = (h1/h)^3). Подставляем известные значения:

10/V = (1/3)^3 10/V = 1/27 V = 270

Итак, объем исходного конуса равен 270.

Для решения задачи нам нужно воспользоваться свойствами подобия геометрических фигур, в данном случае конусов.

1. Понимание задачи:

   • У нас есть конус, высота которого делится точкой в отношении 1:2 от вершины. Это значит, что высота от вершины до этой точки составляет 1/3 от общей высоты конуса, а высота от этой точки до основания составляет 2/3 от общей высоты.
   • Плоскость, параллельная основанию, создает меньший конус, вершина которого совпадает с вершиной исходного конуса.

2. Подобие конусов:

   • Если два конуса подобны, соотношение их высот равно соотношению их радиусов и равно коэффициенту подобия.
   • В данном случае коэффициент подобия между меньшим и исходным конусом равен 1/3, так как высота меньшего конуса составляет 1/3 от высоты исходного.

3. Соотношение объемов:

   • Объемы подобных фигур относятся как кубы коэффициентов подобия. То есть, если коэффициент подобия равен ( k ), то отношение объемов равно ( k^3 ).
   • Для нашего случая коэффициент подобия ( k = 1/3 ), следовательно, отношение объемов равно ( (1/3)^3 = 1/27 ).

4. Данные задачи:

   • Объем меньшего конуса (того, который отсекается) равен 10.

5. Нахождение объема большего конуса:

   • Обозначим объем большего конуса через ( V ). Тогда: [ \frac{V{\text{меньшего}}}{V{\text{большего}}} = \frac{1}{27} ] [ \frac{10}{V} = \frac{1}{27} ] [ V = 10 \times 27 = 270 ]

Таким образом, объем исходного конуса равен 270.

Объем исходного конуса равен 40.