Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведена прямая, пересекающая...

Для решения задачи воспользуемся свойствами хорд и секущих окружности. Известно, что если секущая проведена из точки вне окружности, то произведение длин отрезков этой секущей, один из которых обязательно содержит внешнюю точку, равно квадрату длины касательной, проведенной из этой точки к окружности, если такая касательная существует. В нашем случае, касательной нет, но свойство произведений остаётся.

Пусть ( r ) – искомый радиус окружности, а ( O ) – центр окружности. Тогда, по теореме о секущей, мы имеем: [ AB \cdot AC = AO^2 - r^2 ] где ( AC = AB + BC = 3 + 5 = 8 ) (так как точки ( B ) и ( C ) лежат на окружности, а ( A ) вне её).

Подставим известные значения в уравнение: [ 3 \cdot 8 = 7^2 - r^2 ] [ 24 = 49 - r^2 ] [ r^2 = 49 - 24 ] [ r^2 = 25 ] [ r = \sqrt{25} ] [ r = 5 ]

Таким образом, радиус окружности равен 5.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством окружности, согласно которому радиус, проведенный к касательной, является перпендикуляром к ней. Поскольку точка А находится вне окружности, то отрезок АВ является касательной к окружности. Также из условия задачи известно, что АВ = 3 и ВС = 5.

Пусть O - центр окружности, тогда OA = 7 (так как точка А находится на расстоянии 7 от центра окружности).

Также, по свойству касательной и радиуса, треугольник OAB является прямоугольным, где ОА - гипотенуза, а ОВ - катет. Используя теорему Пифагора, можем записать: OA^2 = OB^2 + AB^2 7^2 = OB^2 + 3^2 49 = OB^2 + 9 OB^2 = 40 OB = √40 = 2√10

Теперь рассмотрим треугольник OBC. В этом треугольнике OC - радиус окружности, а ВС - катет. Также, треугольник OBC является прямоугольным. Применяя теорему Пифагора для него, получаем: OC^2 = OB^2 + BC^2 OC^2 = (2√10)^2 + 5^2 OC^2 = 40 + 25 OC^2 = 65 OC = √65

Таким образом, длина радиуса окружности равна √65.