Через точки А,В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость...

Рассмотрим задачу пошагово и разберём её подробно:

Условие задачи

Даны точки ( A ), ( B ) и середина ( M ) отрезка ( AB ). Через эти точки проведены прямые, параллельные друг другу, которые пересекают некоторую плоскость ( \alpha ) в точках ( A_1 ), ( B_1 ) и ( M_1 ), соответственно. Известно, что расстояния ( AA_1 = 13 \, \text{м} ), ( BB_1 = 7 \, \text{м} ), причём отрезок ( AB ) не пересекает плоскость ( \alpha ). Требуется найти длину отрезка ( MM_1 ).

Анализ задачи

1. Параллельность прямых, проведённых через точки ( A ), ( B ), ( M ), означает, что их пересечения с плоскостью ( \alpha ) будут находиться на одинаковом расстоянии от соответствующих исходных точек. То есть расстояния ( AA_1 ), ( MM_1 ), и ( BB_1 ) пропорциональны их положениям на исходном отрезке ( AB ).

2. Точка ( M ) — середина отрезка ( AB ). Следовательно, её положение делит отрезок ( AB ) пополам. Это значит, что расстояние ( MM_1 ) будет средним арифметическим расстояний ( AA_1 ) и ( BB_1 ): [ MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}. ]

Решение

Подставим известные значения из условия задачи (( AA_1 = 13 \, \text{м} ), ( BB_1 = 7 \, \text{м} )): [ MM_1 = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{м}. ]

Ответ

Длина отрезка ( MM_1 ) равна ( 10 \, \text{м} ).

Обоснование

Поскольку прямые, проведённые через ( A ), ( B ), и ( M ), параллельны, и отрезок ( AB ) не пересекает плоскость ( \alpha ), точки ( A_1 ), ( B_1 ), и ( M_1 ) лежат на параллельных линиях плоскости. Пропорциональность расстояний между исходными точками и их проекциями на плоскость гарантирует, что середина ( M ) делит отрезок ( AB ) так же, как середина ( M_1 ) делит отрезок ( A_1B_1 ). Поэтому для нахождения ( MM_1 ) достаточно взять среднее арифметическое расстояний ( AA_1 ) и ( BB_1 ).

Давайте рассмотрим условия задачи более подробно.

1. У нас есть точки ( A ) и ( B ), между которыми проведён отрезок ( AB ).
2. Пусть ( M ) — середина отрезка ( AB ). Тогда можно выразить ( M ) как: [ M = \frac{A + B}{2} ]
3. Параллельные прямые, проведённые через точки ( A ), ( B ) и ( M ), пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( A_1 ), ( B_1 ) и ( M_1 ) соответственно.

Теперь по условию мы имеем следующие длины:

• ( AA_1 = 13 ) м
• ( BB_1 = 7 ) м

Поскольку прямые, проходящие через точки ( A ), ( B ) и ( M ), параллельны, расстояния от точек ( A ), ( B ) до плоскости ( \alpha ) будут одинаковыми для каждой из параллельных прямых. Это означает, что расстояние между соответствующими точками на этих параллельных прямых будет пропорционально расстоянию от точки ( M ) до плоскости ( \alpha ).

Для нахождения длины отрезка ( MM_1 ) воспользуемся свойством параллельных прямых: если ( A_1 ), ( B_1 ) и ( M_1 ) являются проекциями точек ( A ), ( B ) и ( M ) на плоскость ( \alpha ), то расстояние от ( M_1 ) до плоскости будет равно среднему значению расстояний от ( A_1 ) и ( B_1 ) до плоскости. Мы можем выразить это так:

[ MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2} ]

Подставим известные значения:

[ MM_1 = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ м} ]

Таким образом, длина отрезка ( MM_1 ) равна ( 10 ) м.