Через середину бокового ребра и противолежащую сторону основания правильной треугольной призмы проведено...

Для того чтобы найти объем призмы, нам нужно сначала определить ее высоту и площадь основания.

1. Площадь основания: Основание правильной треугольной призмы — это правильный треугольник со стороной 6 см. Площадь правильного треугольника со стороной (a) рассчитывается по формуле: [ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ] Подставляя (a = 6) см: [ S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

2. Высота призмы: Чтобы найти высоту призмы, рассмотрим сечение, которое проходит через середину бокового ребра и противолежащую сторону основания. Это сечение образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

Пусть высота призмы равна (h). Поскольку сечение образует угол 45 градусов с основанием, это означает, что если мы возьмем проекцию этого сечения на плоскость, перпендикулярную к основанию, то треугольник в этой проекции будет прямоугольным с углом 45 градусов. В таком треугольнике катеты равны.

Пусть (M) — середина бокового ребра (AB), и точка (C) лежит на противоположной стороне основания треугольника. Расстояние от точки (M) до основания равно половине высоты боковой грани. Обозначим это расстояние как (\frac{h}{2}).

В треугольнике, образованном проекцией сечения, один из катетов равен половине высоты боковой грани, то есть (\frac{h}{2}). Поскольку угол между сечением и плоскостью основания 45 градусов, другой катет также должен быть (\frac{h}{2}).

Следовательно, высота призмы (h) связана с длиной катетов следующим образом: [ \frac{h}{2} = \frac{h}{2} ] Это означает, что: [ \frac{h}{2} = \frac{6}{2} ] [ \frac{h}{2} = 3 ] Отсюда: [ h = 6 \, \text{см} ]

1. Объем призмы: Объем призмы (V) рассчитывается по формуле: [ V = S \cdot h ]

Подставляем значения площади основания и высоты: [ V = 9 \sqrt{3} \cdot 6 = 54 \sqrt{3} \, \text{см}^3 ]

Итак, объем правильной треугольной призмы равен (54 \sqrt{3} \, \text{см}^3).

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту треугольной призмы. Пусть высота призмы равна h, тогда согласно условию задачи, у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами 3см, h и гипотенузой 6см. С помощью теоремы Пифагора мы можем найти высоту h: 3^2 + h^2 = 6^2 9 + h^2 = 36 h^2 = 36 - 9 h^2 = 27 h = √27 h = 3√3

Теперь мы можем найти объем призмы. Объем призмы вычисляется по формуле V = S h, где S - площадь основания призмы. Поскольку основание призмы - правильный треугольник, то его площадь равна S = (a^2 √3) / 4, где a - длина стороны основания. S = (6^2 √3) / 4 S = (36 √3) / 4 S = 9√3

Теперь подставляем все в формулу объема призмы: V = 9√3 3√3 V = 27 3 V = 81 см^3

Ответ: объем призмы равен 81 кубический сантиметр.