Через две образующие конуса, угол между которыми равен 30 град., проведено сечение, имеющее площадь...

Для решения задачи нам нужно воспользоваться свойствами конуса и геометрическими формулами.

1. Определение параметров:

   • Радиус основания конуса (R) = 8 дм.
   • Угол между образующими конуса (2α) = 30 градусов, значит, каждая образующая (α) = 15 градусов.
   • Площадь сечения (S) = 25 дм².

2. Понять, какое сечение нам дано: Сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник, в основании которого лежит хорда окружности, а боковые стороны — это образующие конуса. Площадь этого треугольника равна 25 дм².

3. Найдём высоту треугольника: В треугольнике с вершиной в центре основания конуса и двумя образующими, угол между которыми равен 30 градусов, высота (h) будет перпендикулярна основанию и делит его пополам. Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \times \textrm{основание} \times \textrm{высота} ] Основание треугольника — это хорда окружности, которая делит угол при вершине пополам, так как угол между образующими 30 градусов, хорда делит его пополам, по 15 градусов на каждую сторону.

4. Найдём основание (хорду) треугольника: [ \text{Основание} = 2 \times R \times \sin(\alpha) ] [ \text{Основание} = 2 \times 8 \times \sin(15^\circ) = 16 \times \sin(15^\circ) ] Используя формулу: [ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ ] [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ] [ \text{Основание} = 16 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 4 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) ]

5. Найдём высоту треугольника: Площадь треугольника: [ 25 = \frac{1}{2} \times 4 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times h ] [ 25 = 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times h ] [ h = \frac{25}{2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})} ]

6. Используя радиус основания и высоту треугольника, найдём высоту конуса: [ \text{Высота конуса (H)} = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{\frac{25}{2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}}{\sin(15^\circ)} ] [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ] [ H = \frac{25}{2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})} \times \frac{4}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{25 \times 4}{2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} ] [ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 + 2 - 2 \sqrt{12} = 8 - 4 \sqrt{3} ] [ H = \frac{100}{8 - 4 \sqrt{3}} ] [ H = \frac{100}{4 (2 - \sqrt{3})} = \frac{25}{2 - \sqrt{3}} ] [ H = \frac{25 (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 25 (2 + \sqrt{3}) ]

7. Найдём объём конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H ] [ V = \frac{1}{3} \pi (8)^2 \times 25 (2 + \sqrt{3}) ] [ V = \frac{1}{3} \pi \times 64 \times 25 (2 + \sqrt{3}) ] [ V = \frac{1}{3} \pi \times 1600 (2 + \sqrt{3}) ] [ V = \frac{1600 \pi}{3} (2 + \sqrt{3}) ]

Таким образом, объём конуса равен ( \frac{1600 \pi}{3} (2 + \sqrt{3}) ) кубических дециметров.

Объём конуса равен 400 дм куб.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления объема конуса. Обозначим через V объем конуса, через S - площадь сечения, а через R - радиус основания.

Объем конуса вычисляется по формуле: V = (1/3) π R^2 * h, где h - высота конуса.

Для начала найдем высоту конуса. Для этого нам необходимо выразить радиус сечения через радиус основания. Поскольку угол между образующими конуса равен 30 градусам, то получаем, что радиус сечения равен R * sin(30 градусов) = R/2.

Площадь сечения равна площади круга с радиусом R/2: S = π (R/2)^2, S = π R^2 / 4, R^2 = 4S / π, R = 2 sqrt(S / π) = 2 sqrt(25 / π) = 10 / sqrt(π).

Теперь можем найти высоту конуса, воспользовавшись теоремой Пифагора: h^2 = R^2 + (2R)^2, h^2 = (10 / sqrt(π))^2 + (2 10 / sqrt(π))^2, h^2 = (100 / π) + (400 / π), h^2 = 500 / π, h = sqrt(500 / π) = 10 sqrt(5 / π).

Теперь можем найти объем конуса: V = (1/3) π (8)^2 (10 sqrt(5 / π)), V = (64/3) 10 sqrt(5 / π), V = 213.03 дм^3.

Таким образом, объем конуса равен 213.03 дм^3.