Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 8 см. Эта плоскость...

Для решения задачи о нахождении объема конуса с заданными условиями будем следовать пошаговой методике.

1. Анализ задачи и построение чертежа:

   • У нас есть конус с радиусом основания $R=5$ см.
   • Плоскость проходит через две образующие конуса и пересекает основание по хорде длиной 8 см.
   • Плоскость образует угол 60 градусов с основанием конуса.

2. Построение и анализ сечения конуса:

   • Рассмотрим треугольное сечение конуса, проведенное через ось конуса и хорду основания длиной 8 см.
   • Так как плоскость проходит через две образующие конуса, это сечение будет равнобедренным треугольником, в котором основания треугольника $образующие$ встречаются в вершине конуса.

3. Работа с треугольниками и вычисление высоты:

   • Хорда основания длиной 8 см делит основание на две равные части, каждая по 4 см.
   • Это сечение образует равнобедренный треугольник, в котором угол между основанием и боковой стороной равен 60 градусов.

4. Найдем высоту сечения:

   • В прямоугольном треугольнике $\mathrm{\Delta }OAC$, где $O$ — центр основания, $A$ — середина хорды, и $C$ — вершина конуса: $\cos ({60}^{\circ })=\frac{OA}{OC}=\frac{4}{OC}$
   • Из этого уравнения находим $OC$: $OC=\frac{4}{\cos ({60}^{\circ })}=\frac{4}{0.5}=8\text{ см}$

5. Определение высоты конуса:

   • Высота $h$ конуса является высотой треугольника $\mathrm{\Delta }OCB$, где $B$ — вершина конуса: $h=OC\cdot \sin ({60}^{\circ })=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}$

6. Вычисление объема конуса:

   • Объем $V$ конуса определяется формулой: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$
   • Подставляем известные значения: $V=\frac{1}{3}\pi (5{)}^2(4\sqrt{3})=\frac{1}{3}\pi \cdot 25\cdot 4\sqrt{3}=\frac{100\pi \sqrt{3}}{3}\text{ куб.см}$

Ответ: объем конуса составляет $\frac{100\pi \sqrt{3}}{3}$ кубических сантиметров.

Так как текстовый формат не позволяет включить рисунок, предлагаю вам самостоятельно нарисовать описанное сечение:

1. Начертите круг с радиусом 5 см.
2. Внутри круга проведите хорду длиной 8 см.
3. Отметьте середину хорды и проведите перпендикуляр от середины до центра круга $этобудетрадиусдлиной5см$.
4. Постройте равнобедренный треугольник с основанием 8 см и углом 60 градусов при основании.
5. Измерьте высоту треугольника $этобудетвысотаконуса$.

Этот чертеж поможет вам визуализировать задачу и лучше понять процесс вычислений.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту конуса, образованного плоскостью, проведенной через две образующие конуса. По условию у нас есть треугольник, образованный радиусом основания, хордой и высотой, который является прямоугольным треугольником. Так как угол между основанием и плоскостью, проведенной через образующие конуса, равен 60 градусов, то угол между радиусом и хордой также равен 60 градусов. Мы можем разделить треугольник на два равнобедренных треугольника и использовать теорему синусов для нахождения высоты конуса. По теореме синусов: h = 8 sin$60градусов$ = 8 √3 / 2 = 4√3 см

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле: V = $1/3$ π r^2 h = $1/3$ π 5^2 4√3 = $25/3$ π √3 см^3

Ответ: объем конуса равен $25/3$ π √3 см^3.