Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 8 см. Эта плоскость...

Тематика Геометрия
Уровень 10 - 11 классы
конус объем плоскость основание хорда угол радиус геометрия математика вычисление
0

Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 8 см. Эта плоскость образует с основанием угол 60 градусов. Вычислите объем конкса, если радиус основания равен 5. С рисунком!

avatar
задан 6 месяцев назад

2 Ответа

0

Для решения задачи о нахождении объема конуса с заданными условиями будем следовать пошаговой методике.

  1. Анализ задачи и построение чертежа:

    • У нас есть конус с радиусом основания R=5 см.
    • Плоскость проходит через две образующие конуса и пересекает основание по хорде длиной 8 см.
    • Плоскость образует угол 60 градусов с основанием конуса.
  2. Построение и анализ сечения конуса:

    • Рассмотрим треугольное сечение конуса, проведенное через ось конуса и хорду основания длиной 8 см.
    • Так как плоскость проходит через две образующие конуса, это сечение будет равнобедренным треугольником, в котором основания треугольника образующие встречаются в вершине конуса.
  3. Работа с треугольниками и вычисление высоты:

    • Хорда основания длиной 8 см делит основание на две равные части, каждая по 4 см.
    • Это сечение образует равнобедренный треугольник, в котором угол между основанием и боковой стороной равен 60 градусов.
  4. Найдем высоту сечения:

    • В прямоугольном треугольнике ΔOAC, где O — центр основания, A — середина хорды, и C — вершина конуса: cos(60)=OAOC=4OC
    • Из этого уравнения находим OC: OC=4cos(60)=40.5=8 см
  5. Определение высоты конуса:

    • Высота h конуса является высотой треугольника ΔOCB, где B — вершина конуса: h=OCsin(60)=832=43 см
  6. Вычисление объема конуса:

    • Объем V конуса определяется формулой: V=13πR2h
    • Подставляем известные значения: V=13π(5)2(43)=13π2543=100π33 куб.см

Ответ: объем конуса составляет 100π33 кубических сантиметров.

Так как текстовый формат не позволяет включить рисунок, предлагаю вам самостоятельно нарисовать описанное сечение:

  1. Начертите круг с радиусом 5 см.
  2. Внутри круга проведите хорду длиной 8 см.
  3. Отметьте середину хорды и проведите перпендикуляр от середины до центра круга этобудетрадиусдлиной5см.
  4. Постройте равнобедренный треугольник с основанием 8 см и углом 60 градусов при основании.
  5. Измерьте высоту треугольника этобудетвысотаконуса.

Этот чертеж поможет вам визуализировать задачу и лучше понять процесс вычислений.

avatar
ответил 6 месяцев назад
0

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту конуса, образованного плоскостью, проведенной через две образующие конуса. По условию у нас есть треугольник, образованный радиусом основания, хордой и высотой, который является прямоугольным треугольником. Так как угол между основанием и плоскостью, проведенной через образующие конуса, равен 60 градусов, то угол между радиусом и хордой также равен 60 градусов. Мы можем разделить треугольник на два равнобедренных треугольника и использовать теорему синусов для нахождения высоты конуса. По теореме синусов: h = 8 sin60градусов = 8 √3 / 2 = 4√3 см

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле: V = 1/3 π r^2 h = 1/3 π 5^2 4√3 = 25/3 π √3 см^3

Ответ: объем конуса равен 25/3 π √3 см^3.

avatar
ответил 6 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме