Большое основание трапеции равно 8 см, а меньшее - на 3 см меньше средней линии. Определите меньшее...

В задаче даны следующие данные:

• Большое основание трапеции ( a ) равно 8 см.
• Меньшее основание трапеции ( b ) на 3 см меньше средней линии ( m ).

Необходимо найти меньшее основание ( b ) и среднюю линию ( m ).

Теория

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Формула средней линии:
[ m = \frac{a + b}{2} ] где ( a ) — большое основание, ( b ) — меньшее основание, ( m ) — средняя линия.

По условию задачи, меньшее основание ( b ) на 3 см меньше средней линии: [ b = m - 3 ]

Решение

Подставим значение ( b = m - 3 ) в формулу средней линии: [ m = \frac{a + b}{2} ] [ m = \frac{a + (m - 3)}{2} ] [ m = \frac{a + m - 3}{2} ] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 2m = a + m - 3 ] Перенесём ( m ) влево: [ 2m - m = a - 3 ] [ m = a - 3 ]

Подставим значение ( a = 8 ): [ m = 8 - 3 ] [ m = 5 \, \text{см} ]

Теперь найдём меньшее основание ( b ), используя ( b = m - 3 ): [ b = 5 - 3 ] [ b = 2 \, \text{см} ]

Ответ

• Средняя линия ( m = 5 \, \text{см} ),
• Меньшее основание ( b = 2 \, \text{см} ).

Обозначим среднюю линию трапеции как ( m ). Тогда меньшее основание будет равно ( m - 3 ) см.

Согласно формуле для средней линии трапеции: [ m = \frac{a + b}{2} ] где ( a ) — большое основание, ( b ) — меньшее основание.

Подставим известные значения: [ m = \frac{8 + (m - 3)}{2} ]

Умножим обе стороны на 2: [ 2m = 8 + m - 3 ]

Решим это уравнение: [ 2m - m = 8 - 3 ] [ m = 5 \, \text{см} ]

Теперь найдем меньшее основание: [ b = m - 3 = 5 - 3 = 2 \, \text{см} ]

Ответ: Меньшее основание равно 2 см, средняя линия равна 5 см.

Чтобы решить задачу, начнем с определения понятий, которые нам понадобятся.

1. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции. Если обозначить большие и малые основания трапеции как ( a ) и ( b ) соответственно, то средняя линия ( m ) вычисляется по формуле: [ m = \frac{a + b}{2} ]

2. В данной задаче известно, что большое основание ( a = 8 ) см, а меньшее основание ( b ) на 3 см меньше средней линии. Это можно записать как: [ b = m - 3 ]

Теперь подставим выражение для средней линии ( m ) в уравнение для меньшего основания ( b ): [ b = \frac{a + b}{2} - 3 ]

Подставим значение ( a ): [ b = \frac{8 + b}{2} - 3 ]

Умножим обе стороны уравнения на 2 для избавления от дроби: [ 2b = 8 + b - 6 ] [ 2b = b + 2 ]

Теперь вычтем ( b ) из обеих сторон: [ 2b - b = 2 ] [ b = 2 \text{ см} ]

Теперь, когда мы нашли значение меньшего основания ( b ), можем найти среднюю линию ( m ): [ m = \frac{a + b}{2} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} ]

Таким образом, мы получили:

• Меньшее основание трапеции ( b = 2 ) см
• Средняя линия трапеции ( m = 5 ) см

Ответ: Меньшее основание равно 2 см, средняя линия равна 5 см.