Боковое ребро правильной треугольной призмы в 4 раза больше стороны основания, а сумма длин всех ребер...

Для начала найдем длину бокового ребра и стороны основания правильной треугольной призмы. Пусть сторона основания равна а, тогда боковое ребро равно 4a.

Сумма всех ребер равна 36, значит: 3a + 3a + 3a + 4a + 4a + 4a = 36 18a = 36 a = 2

Таким образом, сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8.

Теперь найдем площадь полной поверхности призмы. Полная поверхность призмы состоит из площадей двух оснований и трех боковых поверхностей.

Площадь одного основания (треугольника) можно найти по формуле S = (a^2 √3) / 4, где a - сторона основания. Площадь двух оснований: 2 ((2^2 * √3) / 4) = 2√3.

Площадь боковой поверхности можно найти как периметр основания умножить на высоту. Периметр треугольника равен 3a, а высота равна 4a. Площадь трех боковых поверхностей: 3 3a 4a = 36a.

Итак, площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и трех боковых поверхностей: 2√3 + 36 * 2 = 2√3 + 72.

Для решения задачи начнем с того, что обозначим сторону основания правильной треугольной призмы как ( a ), а боковое ребро как ( 4a ), так как оно в четыре раза больше стороны основания.

Правильная треугольная призма имеет 2 треугольных основания и 3 прямоугольных боковых грани. Длина каждого ребра основания равна ( a ), и каждое основание имеет 3 ребра. Таким образом, сумма длин рёбер оснований составляет ( 2 \times 3a = 6a ).

У призмы 3 боковых ребра, каждое из которых равно ( 4a ), следовательно, сумма длин боковых рёбер равна ( 3 \times 4a = 12a ).

Сумма длин всех рёбер призмы равна ( 6a + 12a = 18a ), и по условию задачи, она должна быть равна 36. Отсюда получаем уравнение: [ 18a = 36 ] [ a = 2 ]

Теперь, когда мы нашли ( a ), можем найти ( 4a ), которое равно ( 4 \times 2 = 8 ).

Для нахождения площади полной поверхности призмы, нам нужно найти:

1. Площадь двух треугольных оснований. Площадь одного правильного треугольника с стороной ( a ) можно найти по формуле: [ S{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] Подставляя ( a = 2 ): [ S{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3} ] Так как оснований два, то их общая площадь будет: [ 2 \times \sqrt{3} ]

2. Площадь трех прямоугольных боковых граней. Площадь одной такой грани равна ( a \times 4a = 4a^2 ). Подставляя ( a = 2 ): [ S_{\text{прямоугольник}} = 4 \times 4 = 16 ] Суммарная площадь всех трех прямоугольных граней: [ 3 \times 16 = 48 ]

Полная площадь поверхности призмы: [ 2\sqrt{3} + 48 ]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы составляет ( 2\sqrt{3} + 48 ) квадратных единиц.