Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 12 см и образует с плоскостью основания угол...

Для того чтобы найти боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, которая равна половине произведения периметра основания на апофему.

Периметр основания пирамиды равен периметру четырёхугольника, то есть 4 * 12 = 48 см.

Для нахождения апофемы (расстояния от вершины пирамиды до центра основания) воспользуемся формулой: апофема = сторона / 2 tg(угол между боковым ребром и плоскостью основания / 2) апофема = 12 / 2 tg(60 / 2) = 6 tg(30) = 6 0.5774 ≈ 3.4641 см

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды: Sб = 0.5 периметр основания апофема = 0.5 48 3.4641 = 0.5 48 3.4641 = 83.07 см^2

Ответ: боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна примерно 83.07 квадратных сантиметра.

Для решения задачи сначала разберем все основные элементы правильной четырехугольной пирамиды и используем данные условия.

1. Определение и параметры пирамиды:

   • Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат.
   • Боковое ребро (AB = 12) см.
   • Угол между боковым ребром и плоскостью основания (\angle AOB = 60^\circ).

2. Высота пирамиды:

   • Обозначим высоту пирамиды как (OH), где (O) - вершина пирамиды, а (H) - центр основания (центроид квадрата).
   • Треугольник (AOH) (где (A) - вершина пирамиды, (O) - центр основания, (H) - точка пересечения высоты с плоскостью основания) является прямоугольным: [ AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}. ]
   • Высота (OH) определяется из треугольника (AOH) по теореме Пифагора: [ OH = AB \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}. ]

3. Радиус описанной окружности основания:

   • В правильной четырехугольной пирамиде центр основания (H) является центром описанной окружности квадрата.
   • Радиус описанной окружности квадрата (диагональ квадрата) равен ( AH ): [ AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}, ] где (a) - сторона квадрата.

4. Найдем сторону основания (a):

   • В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна (AH = 6\sqrt{2}) (радиус умноженный на (\sqrt{2})): [ a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}, ] [ a = 6 \text{ см}. ]

5. Площадь боковой поверхности:

   • Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из 4 равных треугольников.
   • Площадь одного бокового треугольника (S{\Delta}): [ S{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AO, ] где (AO) - высота треугольника, проведенная из вершины (A) на сторону основания квадрата.
   • Высота (AO) в треугольнике (AOH): [ AO = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см}. ]
   • Площадь одного бокового треугольника: [ S_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2. ]
   • Общая площадь боковой поверхности пирамиды: [ S{\text{бок. пов.}} = 4 \cdot S{\Delta} = 4 \cdot 18\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет (72\sqrt{3}) квадратных сантиметров.