Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание- 12 см. Точка M удалена от каждой его стороны на 5 см. Найти расстояние от точки M до плоскости треугольника. и Найти площадь круга, вписанного в треугольник.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание- 12 см. Точка M удалена от каждой его стороны на 5 см. Найти расстояние от точки M до плоскости треугольника. и Найти площадь круга, вписанного в треугольник.
Для нахождения расстояния от точки M до плоскости треугольника, нужно построить высоту треугольника, проведя прямую из точки M к основанию треугольника, перпендикулярную основанию. Так как треугольник равнобедренный, то эта высота будет также являться медианой и биссектрисой треугольника. Из свойств равнобедренного треугольника, известно, что медиана и биссектриса из вершины, прилегающей к основанию, делятся основанием на две равные части. Таким образом, высота треугольника будет равна 8 см. Расстояние от точки M до плоскости треугольника равно этой высоте и составляет 8 см.
Для нахождения площади круга, вписанного в треугольник, нужно воспользоваться формулой площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = rp, где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника. Полупериметр треугольника можно найти как половину суммы всех его сторон: p = (10 + 10 + 12)/2 = 16. Таким образом, полупериметр треугольника равен 16 см. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле для равнобедренного треугольника: r = √(p(p-a)(p-a)(p-b)) / p, где a и b - боковые стороны треугольника. Подставляя известные значения, получаем r = √(16664) / 16 = √(576) / 16 = 24 / 16 = 1.5 см. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 1.5 см. Площадь круга равна S = πr^2 = π1.5^2 ≈ 7.07 см^2.
Для решения задачи рассмотрим сначала треугольник, а затем определим расстояние от точки ( M ) до его плоскости и площадь вписанного круга.
Пусть ( \triangle ABC ) — равнобедренный треугольник с основанием ( BC = 12 ) см и боковыми сторонами ( AB = AC = 10 ) см. Высота из вершины ( A ) опускается на основание ( BC ) и делит его на две равные части по 6 см. Обозначим эту высоту как ( h ).
Используем теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ):
[ h^2 + 6^2 = 10^2 ]
[ h^2 + 36 = 100 ]
[ h^2 = 64 ]
[ h = 8 \text{ см} ]
Точка ( M ) находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Это условие эквивалентно тому, что точка ( M ) является центром сферы, описанной вокруг треугольника, с радиусом 5 см. Расстояние от центра такой сферы до плоскости треугольника равно радиусу сферы, то есть 5 см.
Чтобы найти площадь круга, вписанного в треугольник, сначала найдем его площадь. Площадь ( S ) треугольника можно найти как
[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ см}^2 ]
Полупериметр треугольника:
[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16 \text{ см} ]
Радиус вписанного круга ( r ) находится по формуле:
[ r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3 \text{ см} ]
Теперь можем найти площадь вписанного круга:
[ \text{Площадь круга} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ см}^2 ]
Таким образом, расстояние от точки ( M ) до плоскости треугольника равно 5 см, а площадь вписанного круга составляет ( 9\pi ) квадратных сантиметров.
