Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю равной √2П см (квадратный корень...

Площадь полной поверхности цилиндра равна 4П см².

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту и радиус цилиндра.

Дано, что боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю равной √2П см. Зная, что диагональ квадрата равна √2 * сторона, можем выразить сторону квадрата как √(2П/2) = √П см. Так как боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и окружности с радиусом цилиндра, можем записать уравнение для диагонали квадрата:

√П = h + 2πr

Также известно, что площадь квадрата равна сумме площадей боковой поверхности цилиндра и двух оснований:

Sквадрата = 2πrh + 2πr²

Теперь можем решить систему уравнений и найти высоту и радиус цилиндра. После того, как найдены значения h и r, можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра по формуле:

Sполной поверхности = 2πr(h + r) + 2πr²

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Развертка боковой поверхности цилиндра: Когда мы разворачиваем боковую поверхность цилиндра, то получаем прямоугольник, где одна сторона равна высоте цилиндра ( h ), а другая сторона равна длине окружности основания цилиндра ( 2\pi r ).

2. Преобразование в квадрат: В данном случае говорится, что боковая поверхность развертывается в квадрат. То есть, этот прямоугольник с высотой ( h ) и длиной ( 2\pi r ) преобразуется в квадрат.

3. Стороны квадрата и его диагональ: Пусть сторона квадрата равна ( a ). Тогда диагональ квадрата ( d ) выражается через сторону ( a ) по формуле: [ d = a\sqrt{2} ] По условию задачи, диагональ квадрата равна ( \sqrt{2\pi} ) см: [ \sqrt{2}a = \sqrt{2\pi} ] Отсюда: [ a = \sqrt{\pi} ]

4. Сопоставление сторон квадрата и развертки цилиндра: Так как квадрат является развернутой боковой поверхностью цилиндра, его сторона ( a = \sqrt{\pi} ) является длиной окружности основания цилиндра: [ 2\pi r = \sqrt{\pi} ]

5. Нахождение радиуса ( r ): Из уравнения выше: [ r = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} ] Упростим: [ r = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} ]

6. Нахождение высоты ( h ): Высота цилиндра ( h ) также равна стороне квадрата: [ h = \sqrt{\pi} ]

7. Площадь полной поверхности цилиндра: Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований.

   • Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 2\pi rh ]
   • Площадь одного основания: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 ]

   Подставим найденные значения ( r ) и ( h ): [ S_{\text{бок}} = 2\pi \left(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\right) \sqrt{\pi} = 2\pi \cdot \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} = \pi ]

   Подставим ( r ) в формулу площади основания: [ S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{4\pi} = \frac{1}{4} ]

   Полная площадь основания (два основания): [ S_{\text{осн, полн}} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ]

   Полная площадь поверхности цилиндра: [ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн, полн}} = \pi + \frac{1}{2} ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна: [ \boxed{\pi + \frac{1}{2} \text{ см}^2} ]