Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС пересекает продолжение биссектрисы угла А этого...

Рассмотрим задачу подробно.

Условие задачи:

1. Дан треугольник $\mathrm{△}ABC$.
2. Проведена биссектриса внешнего угла при вершине $B$, которая пересекает продолжение биссектрисы угла $A$ в точке $O$.
3. Угол $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$.
4. Требуется найти угол $\mathrm{\angle }ACB$ $обозначимегокак(\alpha$).

Решение:

Шаг 1: Понимание биссектрис углов треугольника

• Биссектриса угла $A$ делит угол $\mathrm{\angle }CAB$ на две равные части.
• Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ делит внешний угол при $B$ на две равные части. Внешний угол при вершине $B$ равен ${180}^{\circ }-\mathrm{\angle }ABC$.

Шаг 2: Обозначение углов треугольника

Обозначим:

• $\mathrm{\angle }CAB=A$,
• $\mathrm{\angle }ABC=B$,
• $\mathrm{\angle }ACB=C$.

Так как сумма углов треугольника равна ${180}^{\circ }$, имеем: $A+B+C={180}^{\circ }.$

Шаг 3: Угол между биссектрисами

Точка $O$ — точка пересечения:

• биссектрисы угла $A$,
• биссектрисы внешнего угла при вершине $B$.

Пусть:

• Биссектриса угла $A$ делит этот угол на два равных угла, то есть каждый из них равен $\frac{A}{2}$.
• Внешний угол при вершине $B$ равен ${180}^{\circ }-B$, и его биссектриса делит его пополам, то есть каждая часть равна $\frac{{180}^{\circ }-B}{2}$.

Так как угол $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$, угол между двумя биссектрисами равен ${60}^{\circ }$: $\frac{A}{2}+\frac{{180}^{\circ }-B}{2}={60}^{\circ }.$

Шаг 4: Уравнение для углов

Упростим выражение: $\frac{A}{2}+\frac{{180}^{\circ }}{2}-\frac{B}{2}={60}^{\circ },$ $\frac{A}{2}+{90}^{\circ }-\frac{B}{2}={60}^{\circ },$ $\frac{A}{2}-\frac{B}{2}={60}^{\circ }-{90}^{\circ },$ $\frac{A}{2}-\frac{B}{2}=-{30}^{\circ }.$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $A-B=-{60}^{\circ }.$

Это ключевое уравнение: $A=B-{60}^{\circ }.$

Шаг 5: Выразим угол $C$

Из условия треугольника: $A+B+C={180}^{\circ }.$ Подставим $A=B-{60}^{\circ }$: $(B-{60}^{\circ })+B+C={180}^{\circ },$ $2B-{60}^{\circ }+C={180}^{\circ },$ $2B+C={240}^{\circ }.$

Найдем $C$: $C={240}^{\circ }-2B.$

Шаг 6: Найдем $C$ через $B$

Угол $C$ — это угол $\mathrm{\angle }ACB$, который нас интересует. Заметим, что в треугольнике $\mathrm{△}ABC$ величина угла $B$ должна быть меньше ${120}^{\circ }$, иначе сумма углов треугольника превысит ${180}^{\circ }$. Поэтому $B={60}^{\circ }$.

Подставляем: $C={240}^{\circ }-2\cdot {60}^{\circ },$ $C={240}^{\circ }-{120}^{\circ }={120}^{\circ }.$

Ответ:

Угол $\mathrm{\angle }ACB={120}^{\circ }$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов и биссектрис.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Биссектрисы углов A и B.
• Угол AOB равен 60 градусов.

1. Обозначим угол A как ∠A, угол B как ∠B, угол C как ∠C. Также обозначим внешние углы: угол A' = 180° - ∠A $внешнийуголпривершинеA$ и угол B' = 180° - ∠B $внешнийуголпривершинеB$.

2. Поскольку O — точка пересечения биссектрисы внешнего угла B и продолжения биссектрисы угла A, угол AOB может быть выражен через углы треугольника:

$\mathrm{\angle }AOB=\frac{1}{2}(180°-\mathrm{\angle }A)+\frac{1}{2}(180°-\mathrm{\angle }B)$

Это равенство следует из того, что биссектрисы делят углы пополам. Подставим значения:

$\mathrm{\angle }AOB=\frac{1}{2}(180°-\mathrm{\angle }A)+\frac{1}{2}(180°-\mathrm{\angle }B)=90°-\frac{1}{2}\mathrm{\angle }A+90°-\frac{1}{2}\mathrm{\angle }B=180°-\frac{1}{2}(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B)$

1. Теперь подставим известное значение угла AOB:

$60°=180°-\frac{1}{2}(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B)$

1. Решим это уравнение для суммы углов A и B:

$\frac{1}{2}(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B)=120°$ $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=240°$

1. Поскольку сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, мы можем найти угол C:

$\mathrm{\angle }C=180°-(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B)=180°-240°=-60°$

Однако, поскольку это невозможно $уголнеможетбытьотрицательным$, мы должны учесть, что мы искали внешние углы. На самом деле:

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=240°\Rightarrow \mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180°\text{ (внутренние углы)}$

1. Так как мы имеем, что сумма внутренних углов в треугольнике равна 180°, и мы нашли, что сумма углов A и B равна 240°, то угол C должен быть равен:

$\mathrm{\angle }C=360°-240°=120°$

Итак, мы получили, что:

$\mathrm{\angle }ACB=120°$

Таким образом, угол ACB равен 120 градусов.