ABCDA1B1C1D1 - куб, ребро которого равно корню из 32 см. Найдите расстояние между прямыми CC1 и DB1

Для нахождения расстояния между прямыми CC1 и DB1 в кубе ABCDA1B1C1D1 нам необходимо определить координаты точек C, C1, D и B1.

Поскольку ребро куба равно корню из 32 см, то длина стороны куба равна 4√2 см.

Точка C имеет координаты (0, 0, 0), точка D - (4√2, 0, 0), точка C1 - (0, 4√2, 0), точка B1 - (0, 0, 4√2).

Прямая CC1 проходит через точки C(0, 0, 0) и C1(0, 4√2, 0), а прямая DB1 проходит через точки D(4√2, 0, 0) и B1(0, 0, 4√2).

Для нахождения расстояния между прямыми в трехмерном пространстве можно воспользоваться формулой:

d = |(x0 - x1)(y2 - y1) - (x2 - x1)(y0 - y1)| / √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x0, y0) и (x1, y1) - координаты точек прямой CC1, а (x2, y2) - координаты точек прямой DB1.

Подставив координаты точек, получаем:

d = |(0 - 0)(0 - 4√2) - (4√2 - 0)(0 - 0)| / √((0 - 0)^2 + (4√2 - 0)^2) d = |0 - 0 - 0 + 0| / √(0 + 32) d = 0 / √32 d = 0

Таким образом, расстояние между прямыми CC1 и DB1 в кубе ABCDA1B1C1D1 равно 0.

Для решения задачи по нахождению расстояния между прямыми ( CC_1 ) и ( DB_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с ребром длиной ( \sqrt{32} ) см, нужно учитывать, что эти прямые являются скрещивающимися.

1. Координаты вершин куба:

   Если поставить куб в систему координат так, чтобы ( A ) имела координаты ( (0, 0, 0) ), то:

   • ( B ) будет ( (\sqrt{32}, 0, 0) )
   • ( C ) будет ( (\sqrt{32}, \sqrt{32}, 0) )
   • ( D ) будет ( (0, \sqrt{32}, 0) )
   • ( A_1 ) будет ( (0, 0, \sqrt{32}) )
   • ( B_1 ) будет ( (\sqrt{32}, 0, \sqrt{32}) )
   • ( C_1 ) будет ( (\sqrt{32}, \sqrt{32}, \sqrt{32}) )
   • ( D_1 ) будет ( (0, \sqrt{32}, \sqrt{32}) )

2. Уравнения прямых:

   • Прямая ( CC_1 ) проходит через точки ( C(\sqrt{32}, \sqrt{32}, 0) ) и ( C_1(\sqrt{32}, \sqrt{32}, \sqrt{32}) ). Вектор направления ( \vec{CC_1} = (0, 0, \sqrt{32}) ).
   • Прямая ( DB_1 ) проходит через точки ( D(0, \sqrt{32}, 0) ) и ( B_1(\sqrt{32}, 0, \sqrt{32}) ). Вектор направления ( \vec{DB_1} = (\sqrt{32}, -\sqrt{32}, \sqrt{32}) ).

3. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми:

   Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми используется формула:

   [ d = \frac{|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} ]

   где:

   • ( \vec{a} = \vec{CC_1} = (0, 0, \sqrt{32}) )
   • ( \vec{b} = \vec{DB_1} = (\sqrt{32}, -\sqrt{32}, \sqrt{32}) )
   • ( \vec{c} = \overrightarrow{CD} = (-\sqrt{32}, 0, 0) )
   • ([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]) - смешанное произведение векторов.

4. Расчет векторного произведения и смешанного произведения:

   • Векторное произведение ( \vec{a} \times \vec{b} ): [ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 0 & \sqrt{32} \ \sqrt{32} & -\sqrt{32} & \sqrt{32} \end{vmatrix} = (\sqrt{32^3}, \sqrt{32^3}, 0) = (32\sqrt{32}, 32\sqrt{32}, 0) ]

   • Смешанное произведение ([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]): [ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \sqrt{32} \ \sqrt{32} & -\sqrt{32} & \sqrt{32} \ -\sqrt{32} & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot (0 \cdot 0 - \sqrt{32} \cdot 0) - 0 \cdot (\sqrt{32} \cdot 0 - (-\sqrt{32}) \cdot \sqrt{32}) + \sqrt{32} \cdot (\sqrt{32} \cdot 0 - (-\sqrt{32}) \cdot (-\sqrt{32})) ] [ = \sqrt{32} \cdot (-32) = -32\sqrt{32} ]

5. Расчет расстояния:

   [ d = \frac{|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{|-32\sqrt{32}|}{|32\sqrt{32}\sqrt{2}|} = \frac{32\sqrt{32}}{32\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{32}}{8} ]

   [ d = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 ]

Таким образом, расстояние между прямыми ( CC_1 ) и ( DB_1 ) равно 1 см.