ABCD параллелограмм найти координаты вершины C если A (-3; -2) B (4;7) D (-2;-5). ABCD может быть прямоугольником?
ABCD параллелограмм найти координаты вершины C если A (-3; -2) B (4;7) D (-2;-5). ABCD может быть прямоугольником?
Для нахождения координат вершины C параллелограмма ABCD можно воспользоваться свойством параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, сначала найдем координаты точки M, которая является серединой диагонали AC, а затем найдем координаты точки C, которая находится на той же прямой, что и точка M, но отстоит от нее на вектор AD.
Координаты точки M можно найти по формуле: x_m = (x_a + x_c) / 2 y_m = (y_a + y_c) / 2
где (x_a, y_a) - координаты точки A, (x_c, y_c) - координаты точки C.
Подставляя известные значения, получаем: x_m = (-3 + x_c) / 2 y_m = (-2 + y_c) / 2
Таким образом, координаты точки M равны: x_m = (-3 + x_c) / 2 y_m = (-2 + y_c) / 2
Теперь найдем координаты точки C, зная координаты точки M и вектор AD: x_c = x_m + x_d - x_a y_c = y_m + y_d - y_a
Подставляя известные значения, получаем: x_c = ((-3 + x_c) / 2) + (-2) - (-3) y_c = ((-2 + y_c) / 2) + (-5) - (-2)
Решая эти уравнения, получаем координаты точки C: x_c = 1 y_c = -4
Таким образом, координаты точки C равны (1; -4).
Чтобы определить, является ли параллелограмм ABCD прямоугольником, необходимо проверить, являются ли его стороны перпендикулярными. Для этого можно посчитать скалярное произведение векторов AB и AD, а также векторов BC и BA. Если результаты этих вычислений равны 0, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.
Чтобы найти координаты вершины ( C ) параллелограмма ( ABCD ), мы можем воспользоваться свойством, что в параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Однако здесь это свойство напрямую не применимо, поскольку мы ищем только одну вершину. Вместо этого воспользуемся другим свойством параллелограмма: сумма векторов, соединяющих противоположные вершины, равна нулю, то есть:
[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 0 ]
Из этого свойства можно вывести, что:
[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} ]
Таким образом, координаты вершины ( C ) можно найти, используя правило сложения векторов:
Найдем вектор ( \overrightarrow{AB} ): [ \overrightarrow{AB} = (4 - (-3), 7 - (-2)) = (7, 9) ]
Поскольку ( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} ), то вектор ( \overrightarrow{DC} ) также равен ( (7, 9) ).
Поскольку ( \overrightarrow{DC} = C - D ), найдем координаты ( C ): [ C = D + \overrightarrow{DC} = (-2, -5) + (7, 9) = (5, 4) ]
Таким образом, координаты вершины ( C ) равны ( (5, 4) ).
Теперь проверим, может ли ( ABCD ) быть прямоугольником. Для этого необходимо, чтобы соседние стороны были перпендикулярны. Перпендикулярность векторов определяется их скалярным произведением, которое должно быть равно нулю.
Рассмотрим скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AD} ):
Найдем вектор ( \overrightarrow{AD} ): [ \overrightarrow{AD} = (-2 - (-3), -5 - (-2)) = (1, -3) ]
Вычислим скалярное произведение ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} ): [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (7 \times 1) + (9 \times -3) = 7 - 27 = -20 ]
Поскольку скалярное произведение не равно нулю, векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AD} ) не перпендикулярны, следовательно, ( ABCD ) не может быть прямоугольником.
