A(-2;4), B(4;-2), C(-8;-14), D(6;8) Найти: а) координаты векторов AB,CD б) длину вектора BC в) координаты...

а) а) AB: (4 - (-2); -2 - 4) = (6; -6) CD: (6 - (-8); 8 - (-14)) = (14; 22)

б) Длина вектора BC: √((4 - (-8))^2 + (-2 - (-14))^2) = √((12)^2 + (12)^2) = √(144 + 144) = √288 = 12√2

в) M - середина AB: ((-2 + 4)/2; (4 - 2)/2) = (1; 1) N - середина CD: ((-8 + 6)/2; (-14 + 8)/2) = (-1; -3)

г) MN: (-1 - 1; -3 - 1) = (-2; -4) AD: (6 - (-2); 8 - 4) = (8; 4)

д) Диаметр BC: √((4 - (-8))^2 + (-2 - (-14))^2) = 12√2 Радиус окружности: 12√2/2 = 6√2 Координаты центра окружности: ((4 + (-8))/2; (-2 + (-14))/2) = (-2; -8) Уравнение окружности с центром (-2; -8) и радиусом 6√2: (x + 2)^2 + (y + 8)^2 = (6√2)^2

е) Уравнение прямой BD: y = kx + b Угловой коэффициент прямой: k = (8 - (-2))/(6 - 4) = 10/2 = 5 Точка пересечения с осью y (b): -2 = 5*4 + b => b = -22 Уравнение прямой: y = 5x - 22

Давай разберем каждый пункт задачи по порядку.

а) Координаты векторов AB и CD

Чтобы найти координаты вектора, нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки.

Для вектора AB: [ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - (-2); -2 - 4) = (6; -6) ]

Для вектора CD: [ \overrightarrow{CD} = D - C = (6 - (-8); 8 - (-14)) = (14; 22) ]

б) Длина вектора BC

Чтобы найти длину вектора BC, нужно использовать формулу длины вектора: [ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} ]

Подставляем координаты точек B и C: [ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{((-8) - 4)^2 + ((-14) - (-2))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} ]

в) Координаты точки M – середины AB и точки N – середины CD

Координаты середины отрезка находятся по формуле: [ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) ]

Для точки M: [ M = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{4 - 2}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1) ]

Для точки N: [ N = \left( \frac{-8 + 6}{2}, \frac{-14 + 8}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{-6}{2} \right) = (-1, -3) ]

г) Векторы MN и AD

Для вектора MN: [ \overrightarrow{MN} = N - M = (-1 - 1, -3 - 1) = (-2, -4) ]

Для вектора AD: [ \overrightarrow{AD} = D - A = (6 - (-2), 8 - 4) = (8, 4) ]

д) Уравнение окружности с диаметром BC

Центр окружности – середина отрезка BC. Найдем координаты центра: [ Центр = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{4 - 8}{2}, \frac{-2 - 14}{2} \right) = \left( -2, -8 \right) ]

Радиус окружности – половина длины отрезка BC: [ R = \frac{|\overrightarrow{BC}|}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ]

Уравнение окружности с центром в точке ((-2, -8)) и радиусом (6\sqrt{2}) записывается так: [ (x + 2)^2 + (y + 8)^2 = (6\sqrt{2})^2 ] [ (x + 2)^2 + (y + 8)^2 = 72 ]

е) Уравнение прямой BD

Для нахождения уравнения прямой через две точки B ((4, -2)) и D ((6, 8)), сначала найдем наклон (угловой коэффициент) прямой: [ k = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{8 - (-2)}{6 - 4} = \frac{10}{2} = 5 ]

Уравнение прямой в общем виде: [ y - y_B = k(x - x_B) ] Подставляем значения: [ y + 2 = 5(x - 4) ] [ y + 2 = 5x - 20 ] [ y = 5x - 22 ]

Итак, уравнение прямой BD: [ y = 5x - 22 ]

Вот и все решения для заданных вопросов!