2 задачи: Даны два равнобедренных треугольника. Их основание и одна боковая сторона равны. Докажите,...

Решение первой задачи:

Дано:

• Два равнобедренных треугольника ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ).
• ( AB = DE ) (боковая сторона одного треугольника равна боковой стороне другого).
• ( BC = EF ) (основания треугольников).

Доказать:

• ( \triangle ABC = \triangle DEF ).

Решение:

В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Так, в треугольнике ( \triangle ABC ):

• ( \angle ABC = \angle ACB ).

Аналогично, в треугольнике ( \triangle DEF ):

• ( \angle DEF = \angle DFE ).

Так как ( BC = EF ) и ( AB = DE ), то остаётся сравнить третьи стороны ( AC ) и ( DF ) или доказать равенство соответствующих углов.

Из равенства боковых сторон и оснований следует, что ( AC = DF ). Действительно, по свойству равнобедренных треугольников, ( AC ) и ( DF ) также являются боковыми сторонами, равными ( AB ) и ( DE ) соответственно.

Теперь у нас есть равенство всех трёх сторон в двух треугольниках:

• ( AB = DE ),
• ( AC = DF ),
• ( BC = EF ).

По первому признаку равенства треугольников (по трем сторонам), ( \triangle ABC = \triangle DEF ).

Решение второй задачи:

Дано:

• ( AB = BC )
• ( AD = CD )

Доказать:

• ( \angle A = \angle C )

Решение:

Сначала заметим, что ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) оба равнобедренные. Действительно, ( AB = BC ) и ( AD = CD ), что делает эти треугольники равнобедренными соответственно по ( BD ).

Так как ( AB = BC ), то ( \angle ABD = \angle CBD ) (по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны).

Аналогично, ( AD = CD ) влечёт ( \angle ADB = \angle CDB ).

Теперь рассмотрим треугольники ( \triangle ADB ) и ( \triangle CDB ):

• ( AB = BC ),
• ( AD = CD ),
• ( BD ) общая.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ( \triangle ADB = \triangle CDB ).

Отсюда следует, что ( \angle A = \angle C ), так как соответствующие углы равных треугольников равны.

Таким образом, доказано, что ( \angle A = \angle C ).

Для доказательства равенства треугольников необходимо показать, что они имеют равные углы и стороны.

1. Так как основание и одна боковая сторона треугольников равны, то у них равны два угла при основании.
2. Так как сторона AB = BC, то треугольники равнобедренные.
3. Следовательно, треугольники равны.

Для доказательства угла А равного углу C нужно показать, что треугольник ABC равнобедренный.

1. Так как сторона AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный.
2. Следовательно, угол А равен углу C.

Для доказательства равенства двух равнобедренных треугольников с одинаковой основой и равной боковой стороной, можно воспользоваться свойством равнобедренного треугольника, которое гласит, что углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой. Таким образом, в обоих треугольниках углы, противолежащие равным сторонам, будут равны, что и доказывает их равенство.

Для доказательства равенства углов А и C в треугольнике ABCD, можно воспользоваться свойством равенства противолежащих углов при равенстве сторон в равнобедренном треугольнике. Поскольку сторона AB равна стороне BC, углы при вершине B будут равны. Также, по условию, сторона AD равна стороне CD, что означает, что углы при вершине D также будут равны. Из этого следует, что угол А равен углу C в треугольнике ABCD.