1В.2 Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Найдите площадь поверхности куба.

Чтобы найти площадь поверхности куба, опишем шаги решения задачи, начиная с радиуса шара, описанного около куба.

1. Понимание задачи:

   • У нас есть шар с радиусом ( R = 3 ).
   • Этот шар описан около куба, то есть шар касается всех вершин куба.

2. Связь между радиусом шара и размером куба:

   • В шар, описанный вокруг куба, вписан куб, и все вершины куба касаются поверхности шара.
   • Диаметр шара равен длине диагонали куба, так как диагональ куба проходит через центр шара и соединяет две противоположные вершины.

3. Формула для диагонали куба:

   • Пусть длина ребра куба равна ( a ).
   • Диагональ куба ( d ) может быть найдена с использованием пространственной теоремы Пифагора: [ d = a\sqrt{3} ]
   • Диаметр шара равен удвоенному радиусу: [ d = 2R ]

4. Нахождение длины ребра куба:

   • Подставляем ( d = 2R ) в формулу диагонали куба: [ a\sqrt{3} = 2R ]
   • Подставляем ( R = 3 ): [ a\sqrt{3} = 2 \times 3 = 6 ]
   • Решаем уравнение для ( a ): [ a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]

5. Вычисление площади поверхности куба:

   • Площадь поверхности куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней: [ S = 6a^2 ]
   • Подставляем найденное значение ( a ): [ S = 6(2\sqrt{3})^2 ]
   • Вычисляем ( (2\sqrt{3})^2 ): [ (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 ]
   • Подставляем это значение в формулу площади: [ S = 6 \times 12 = 72 ]

Итак, площадь поверхности куба равна ( 72 ) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь поверхности куба, нам нужно знать его ребро. Радиус шара, описанного около куба, равен 3, что означает, что диагональ куба равна 6 (диагональ куба равна двум радиусам описанной около него сферы).

Диагональ куба можно найти с помощью теоремы Пифагора: d^2 = a^2 + a^2 + a^2, где d - диагональ куба, а - его ребро. Так как d = 6, подставляем это значение в формулу: 6^2 = a^2 + a^2 + a^2, 36 = 3a^2, a^2 = 12, a = √12 = 2√3.

Теперь, для нахождения площади поверхности куба, нужно найти сумму площадей всех его граней. Поскольку куб имеет 6 граней и все они равны по площади, площадь одной грани равна a^2 = (2√3)^2 = 12.

Таким образом, площадь поверхности куба равна 6 * 12 = 72.