1)Найдите площадь треугольника , который образуется при пересечении прямой 2x+y+4=0 с осями координат 2) Напишите уравнение прямой , проходящей через начало координат и точку A(2;-10) 3)Выясните взаимное расположение прямой x=10 и окружности (x-1)^2+(y-30)^2=81 Найдите расстояние от центра окружности до прямой
1) Площадь треугольника, образованного пересечением прямой 2x+y+4=0 с осями координат, можно найти следующим образом. Сначала находим точки пересечения прямой с осями координат, решая систему уравнений 2x+y+4=0 и уравнениями осей координат. Затем находим длины сторон треугольника, используя найденные точки. Площадь треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника по координатам его вершин.
2) Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку A(2;-10), можно найти используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки. Подставив координаты точек в уравнение, найдем уравнение прямой.
3) Для выяснения взаимного расположения прямой x=10 и окружности (x-1)^2+(y-30)^2=81 нужно найти точки пересечения этих объектов. Подставив уравнение прямой в уравнение окружности, найдем координаты точек пересечения. Затем можно найти расстояние от центра окружности до прямой, используя формулу для расстояния от точки до прямой.
1) Найдите площадь треугольника, который образуется при пересечении прямой (2x + y + 4 = 0) с осями координат.
Для нахождения площади треугольника, образованного пересечением прямой с осями координат, сначала найдем точки пересечения этой прямой с осями.
Пересечение с осью (x): На оси (x) координата (y = 0). Подставим (y = 0) в уравнение прямой: [2x + 0 + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2] Точка пересечения с осью (x) — ((-2, 0)).
Пересечение с осью (y): На оси (y) координата (x = 0). Подставим (x = 0) в уравнение прямой: [2(0) + y + 4 = 0 \implies y = -4] Точка пересечения с осью (y) — ((0, -4)).
Теперь имеем три вершины треугольника: ((0, 0)), ((-2, 0)), и ((0, -4)).
Площадь треугольника с вершинами ((x_1, y_1)), ((x_2, y_2)), ((x_3, y_3)) можно найти по формуле: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ]
Подставим координаты: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - (-4)) + (-2)(-4 - 0) + 0(0 - 0) \right| ] [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 0 + 8 + 0 \right| ] [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 8 ] [ \text{Площадь} = 4 ]
Таким образом, площадь треугольника равна (4) квадратных единиц.
2) Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (A(2, -10)).
Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно записать в виде (y = kx + b). Так как прямая проходит через начало координат ((0, 0)), то (b = 0). Следовательно, уравнение упрощается до вида (y = kx).
Найдем (k) (коэффициент наклона) по точке (A(2, -10)): [ y = kx \implies -10 = k \cdot 2 \implies k = \frac{-10}{2} = -5 ]
Таким образом, уравнение прямой будет: [ y = -5x ]
3) Выясните взаимное расположение прямой (x = 10) и окружности ((x - 1)^2 + (y - 30)^2 = 81). Найдите расстояние от центра окружности до прямой.
Центр окружности имеет координаты ((1, 30)), а радиус окружности равен (\sqrt{81} = 9).
Прямая (x = 10) — это вертикальная прямая, проходящая через точку (x = 10).
Найдем расстояние от центра окружности до этой прямой. Расстояние от точки ((x_0, y_0)) до вертикальной прямой (x = c) вычисляется как модуль разности (x_0) и (c): [ \text{Расстояние} = |x_0 - c| = |1 - 10| = 9 ]
Таким образом, расстояние от центра окружности до прямой (x = 10) равно (9).
Теперь проверим взаимное расположение. Поскольку расстояние от центра окружности до прямой (9), а радиус окружности также равен (9), прямая касается окружности. Прямая (x = 10) является касательной к окружности.
