1)Даны векторы а=5i-2j+4k u b=3j+2k.Вычислити а* b. 2) Точки А(-1;-2;4),В(-4;-2;0),С(3;-2;1) являются...

1) Векторное произведение векторов а и b равно (-8i - 26j + 11k). 2) Периметр треугольника АВС равен 12, угол при вершине А равен 90 градусов.

(Прошу прощения за отсутствие рисунка)

1) Для вычисления скалярного произведения двух векторов необходимо умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения. В данном случае, а=5i-2j+4k, b=3j+2k. Тогда аb = 50 + (-2)3 + 42 = 0 - 6 + 8 = 2.

2) Для нахождения периметра треугольника АВС, нужно вычислить длины сторон треугольника, используя координаты вершин. Сначала найдем длины сторон: AB = √[(-4 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2] = √[(-3)^2 + 0 + (-4)^2] = √(9 + 16) = √25 = 5 BC = √[(3 - (-4))^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 0)^2] = √[(7)^2 + 0 + 1] = √(49 + 1) = √50 CA = √[(-1 - 3)^2 + (-2 - (-2))^2 + (4 - 1)^2] = √[(-4)^2 + 0 + 3^2] = √(16 + 9) = √25 = 5

Периметр треугольника АВС = AB + BC + CA = 5 + √50 + 5 = 10 + √50

Для нахождения угла при вершине А воспользуемся формулой косинуса: cos(угол A) = (BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 BC CA) cos(угол A) = (50 + 25 - 25) / (2 √50 5) = 50 / (2 * 5√50) = 5 / √50 = √(5/2)

Таким образом, угол при вершине А равен cos^(-1)(√(5/2)).

1) Даны векторы ( \mathbf{a} = 5\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ) и ( \mathbf{b} = 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} ). Вычислим их скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ).

Скалярное произведение двух векторов определяется как: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ]

Для наших векторов: [ \mathbf{a} = 5\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \Rightarrow a_x = 5, a_y = -2, a_z = 4 ] [ \mathbf{b} = 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \Rightarrow b_x = 0, b_y = 3, b_z = 2 ]

Теперь подставим значения: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (5 \cdot 0) + (-2 \cdot 3) + (4 \cdot 2) ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 - 6 + 8 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 ]

Итак, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно 2.

2) Даны точки ( A(-1, -2, 4) ), ( B(-4, -2, 0) ) и ( C(3, -2, 1) ). Найдём периметр треугольника ( ABC ) и угол при вершине ( A ).

Сначала вычислим длины сторон треугольника. Длина отрезка между двумя точками ( (x_1, y_1, z_1) ) и ( (x_2, y_2, z_2) ) рассчитывается по формуле: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

Для стороны ( AB ): [ A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) ] [ AB = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} ] [ AB = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} ] [ AB = \sqrt{9 + 0 + 16} ] [ AB = \sqrt{25} ] [ AB = 5 ]

Для стороны ( AC ): [ A(-1, -2, 4), C(3, -2, 1) ] [ AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} ] [ AC = \sqrt{(3 + 1)^2 + 0^2 + (-3)^2} ] [ AC = \sqrt{4^2 + 0 + (-3)^2} ] [ AC = \sqrt{16 + 9} ] [ AC = \sqrt{25} ] [ AC = 5 ]

Для стороны ( BC ): [ B(-4, -2, 0), C(3, -2, 1) ] [ BC = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 0)^2} ] [ BC = \sqrt{(3 + 4)^2 + 0 + 1^2} ] [ BC = \sqrt{7^2 + 1^2} ] [ BC = \sqrt{49 + 1} ] [ BC = \sqrt{50} ] [ BC = 5\sqrt{2} ]

Периметр треугольника ( ABC ): [ P = AB + AC + BC ] [ P = 5 + 5 + 5\sqrt{2} ] [ P = 10 + 5\sqrt{2} ]

Теперь найдём угол при вершине ( A ). Для этого используем косинус угла ( \theta ) между векторами ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ): [ \cos \theta = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}| |\mathbf{AC}|} ]

Найдём векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ): [ \mathbf{AB} = B - A = (-4 - (-1), -2 - (-2), 0 - 4) = (-3, 0, -4) ] [ \mathbf{AC} = C - A = (3 - (-1), -2 - (-2), 1 - 4) = (4, 0, -3) ]

Скалярное произведение ( \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} ): [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (-3) \cdot 4 + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-3) ] [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = -12 + 0 + 12 ] [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 0 ]

Длины векторов ( |\mathbf{AB}| ) и ( |\mathbf{AC}| ): [ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 ] [ |\mathbf{AC}| = \sqrt{(4)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

Итак, косинус угла ( \theta ): [ \cos \theta = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0 ]

Следовательно, угол ( \theta = 90^\circ ).

Итак, периметр треугольника ( ABC ) равен ( 10 + 5\sqrt{2} ), а угол при вершине ( A ) равен ( 90^\circ ).

Для визуализации треугольника ( ABC ):

     C (3, -2, 1)
     *
    / \
   /   \
  /     \
 /       \
*---------*
A(-1, -2, 4)        B(-4, -2, 0)

На рисунке видно, что точки ( A ), ( B ), и ( C ) образуют треугольник.