12. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и СС1. А) 90 Б) 45 В) 60 Ответ обоснуйте.

Для решения задачи о нахождении угла между прямыми АВ1 и СС1 в кубе ABCDA1B1C1D1 начнем с визуализации куба и расположения точек.

1. Точки A, B, C, D находятся в основании куба, а точки A1, B1, C1, D1 – соответственно над ними, формируя верхнее основание куба.
2. Прямая AB1 соединяет точку A из нижнего основания с точкой B1 из верхнего основания, и эта линия является диагональю грани ABB1A1.
3. Прямая CC1 является ребром куба, соединяющим точку C на нижнем основании с точкой C1 на верхнем основании.

Теперь рассмотрим угол между этими двумя прямыми. Вектор CC1 направлен вертикально вверх и имеет координаты (0, 0, h), где h – высота куба (или сторона, так как в кубе все стороны равны).

Вектор AB1 можно выразить через координаты его концов. Пусть координаты точек таковы: A(0, 0, 0), B1(1, 1, 1), где мы предполагаем, что сторона куба равна 1 для упрощения расчетов. Тогда вектор AB1 = B1 - A = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1).

Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу для косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} ] где (\vec{u}) и (\vec{v}) – векторы, (\cdot) означает скалярное произведение, а (|\vec{u}|) и (|\vec{v}|) – длины векторов.

Скалярное произведение (\vec{AB1} \cdot \vec{CC1} = (1, 1, 1) \cdot (0, 0, 1) = 0 + 0 + 1 = 1).

Длины векторов: (|\vec{AB1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}), (|\vec{CC1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1).

Таким образом, [ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Значение (\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}) соответствует углу 30° между вектором и проекцией другого вектора на плоскость, перпендикулярную вектору CC1. Так как AB1 не лежит в этой плоскости, угол между AB1 и проекцией AB1 на эту плоскость равен 30°. Угол между AB1 и вертикальным вектором CC1, таким образом, составляет 60°.

Ответ: В) 60°.

Для того чтобы найти угол между прямыми АВ1 и СС1 в кубе, нужно рассмотреть их направляющие векторы. Прямая АВ1 проходит через точки A и B1, а прямая СС1 проходит через точки C и C1.

Найдем координаты направляющих векторов для данных прямых. Вектор AB1 можно получить, вычитая координаты точек A и B1: AB1 = B1 - A. Аналогично, вектор CC1 можно получить, вычитая координаты точек C и C1: CC1 = C1 - C.

Затем найдем скалярное произведение этих векторов. Угол между прямыми определяется как arccos((AB1 CC1) / (|AB1| |CC1|)), где AB1 * CC1 - скалярное произведение векторов, а |AB1| и |CC1| - их длины.

После проведения всех расчетов, получим значение угла между прямыми АВ1 и СС1. В данном случае, если угол равен 90°, то прямые перпендикулярны друг другу. Таким образом, ответ А) 90°.

Угол между прямыми АВ1 и СС1 в кубе равен 90 градусов. Это связано с тем, что прямые АВ1 и СС1 являются диагоналями грани куба, которые пересекаются под углом 90 градусов.