2.Диагонали квадрата ABCD пресекаются в точке О,SO-перпендикуляр к плоскости квадрата, SO=4квадратный корень из 2 а) Докажите равенство углов,образуемых прямыми SА,SВ,SС,SD с плоскостью квадрата. б)Найдите эти углы,если периметр ABCD =32см.
Пусть ( A ) и ( D ) — вершины параллелограмма ( ABCD ), которые лежат в плоскости ( α ). Для доказательства того, что прямые ( BA ) и ( CD ) образуют с плоскостью ( α ) равные углы, воспользуемся свойствами параллелограмма.
Рассмотрим параллелограмм ( ABCD ):
Так как ( A ) и ( D ) лежат в плоскости ( α ), то и прямые ( AD ) и ( BC ) тоже лежат в этой плоскости. Теперь рассмотрим прямые ( BA ) и ( CD ).
Прямые ( AB ) и ( CD ) параллельны, следовательно, углы между прямыми ( BA ) и плоскостью ( α ), а также углы между прямыми ( CD ) и плоскостью ( α ) равны. Это вытекает из того, что параллельные прямые образуют равные углы с любой плоскостью.
Таким образом, углы, образуемые прямыми ( BA ) и ( CD ) с плоскостью ( α ), равны.
а) Доказательство равенства углов, образуемых прямыми ( SA, SB, SC, SD ) с плоскостью квадрата:
Рассмотрим квадрат ( ABCD ) с диагоналями ( AC ) и ( BD ), которые пересекаются в точке ( O ). Точка ( O ) является центром квадрата, и ( SO ) — перпендикуляр к плоскости квадрата.
Так как ( SO ) перпендикулярно плоскости квадрата, точка ( S ) равноудалена от всех вершин квадрата ( A, B, C, ) и ( D ). Это означает, что треугольники ( SAO, SBO, SCO ) и ( SDO ) являются прямоугольными и равнобедренными.
Следовательно, углы, образуемые прямыми ( SA, SB, SC, SD ) с плоскостью квадрата, равны, так как все эти углы являются углами при основании равнобедренных прямоугольных треугольников.
б) Найдём эти углы, если периметр ( ABCD = 32 ) см:
Пусть сторона квадрата ( ABCD ) равна ( a ). Тогда периметр квадрата ( 4a = 32 ), откуда ( a = 8 ) см.
Диагонали квадрата ( ABCD ): [ \text{Длина диагонали} = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} ]
Половина диагонали (расстояние от центра квадрата ( O ) до вершины): [ \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} ]
В треугольнике ( SAO ), где ( SO = 4\sqrt{2} ) и ( AO = 4\sqrt{2} ), угол ( \angle SAO ) можно найти по следующей формуле для угла между прямой и плоскостью:
[ \cos \varphi = \frac{AO}{SA} ]
Поскольку ( SAO ) является равнобедренным прямоугольным треугольником, ( SA ) — гипотенуза: [ SA = \sqrt{(SO)^2 + (AO)^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8 ]
Теперь найдём угол: [ \cos \varphi = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \varphi = \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ ]
Таким образом, углы, образуемые прямыми ( SA, SB, SC, SD ) с плоскостью квадрата, равны ( 45^\circ ).
Прямые BA и CD образуют с плоскостью а равные углы, так как вершины А и D лежат в этой плоскости, следовательно, углы, образуемые этими прямыми с плоскостью а, равны.
а) Углы, образуемые прямыми SA, SB, SC, SD с плоскостью квадрата, равны, так как SO является перпендикуляром к плоскости квадрата и все прямые SA, SB, SC, SD проходят через эту точку.
б) Периметр квадрата ABCD равен 32 см, следовательно, сторона квадрата равна 8 см. Рассмотрим треугольник SAB. Так как углы между прямыми SA и SB, SB и AB, AB и SA равны, то угол ASB равен 90 градусов. Аналогично для треугольника SBC, SCD, SDA. Таким образом, все углы, образуемые прямыми SA, SB, SC, SD с плоскостью квадрата, равны 90 градусов.
Для доказательства равенства углов, образуемых прямыми BA и CD с плоскостью a, рассмотрим плоскость, проходящую через прямые BA и CD. Эта плоскость параллельна плоскости a, так как прямые BA и CD параллельны. Таким образом, углы между этой плоскостью и прямыми BA и CD равны, что и требовалось доказать.
а) Поскольку SO перпендикулярен к плоскости квадрата, то углы, образуемые прямыми SA, SB, SC, SD с этой плоскостью также будут равны. Это следует из того, что углы между прямыми и плоскостью равны углам между перпендикуляром и плоскостью.
б) Пусть сторона квадрата равна a. Тогда периметр квадрата равен 4a. Так как SO равно 4√2, то по теореме Пифагора получаем, что расстояние между точкой О и плоскостью квадрата равно 4. Таким образом, углы, образуемые прямыми SA, SB, SC, SD с плоскостью квадрата равны арккосинусу(4/a). Если периметр квадрата равен 32 см, то каждая сторона равна 8 см, и углы будут равны арккосинусу(4/8) = арккосинусу(0.5) = 60 градусов.
