1. В треугольнике АВС <А =45º, ВС=13 см, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DС =12см. Найдите...

Для решения данной задачи начнем с анализа треугольника ABC с углом A = 45°, стороной BC = 13 см и отрезком DC = 12 см, который отсекает высота BD от точки B на стороне AC.

Шаг 1: Найдем сторону AC

Сначала найдем длину стороны AC. Треугольник BDC является прямоугольным, так как высота BD перпендикулярна стороне AC. Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны BD.

Обозначим:

• DC = 12 см
• BC = 13 см
• BD = h (высота из B на AC)

Так как DC = 12 см, тогда:

[ BC^2 = BD^2 + DC^2 ]

Подставим известные значения:

[ 13^2 = h^2 + 12^2 ]

[ 169 = h^2 + 144 ]

[ h^2 = 169 - 144 = 25 ]

[ h = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

Шаг 2: Найдем сторону AB

Теперь, когда мы знаем высоту BD, можем найти длину отрезка AC:

Сначала найдем длину отрезка AD в треугольнике ABD. Так как угол A = 45°, то в треугольнике ABD:

[ \tan(A) = \frac{BD}{AD} ]

Где:

• ( \tan(45º) = 1 )

Тогда:

[ 1 = \frac{5}{AD} \Rightarrow AD = 5 \text{ см} ]

Теперь можно найти всю длину AC:

[ AC = AD + DC = 5 + 12 = 17 \text{ см} ]

Шаг 3: Найдем площадь треугольника ABC

Площадь треугольника можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD ]

Подставим значения:

[ S = \frac{1}{2} \times 17 \times 5 = \frac{85}{2} = 42.5 \text{ см}^2 ]

Шаг 4: Найдем высоту, проведенную к стороне BC

Теперь найдем высоту, проведенную к стороне BC, обозначим её как h_1. Площадь треугольника также может быть выражена через сторону BC и соответствующую высоту h_1:

[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h_1 ]

Подставим известные значения площади и стороны:

[ 42.5 = \frac{1}{2} \times 13 \times h_1 ]

Упростим уравнение:

[ 85 = 13 \times h_1 ]

[ h_1 = \frac{85}{13} \approx 6.54 \text{ см} ]

Итог

1. Площадь треугольника ABC равна 42.5 см².
2. Высота, проведенная к стороне BC, равна примерно 6.54 см.

Чтобы решить задачу, давайте разберем её шаг за шагом. Мы будем использовать свойства треугольников, тригонометрию и формулы для нахождения площади.

Дано:

1. (\angle A = 45^\circ),
2. (BC = 13 \, \text{см}),
3. (DC = 12 \, \text{см}),
4. Высота (BD) отсекает отрезок на стороне (AC).

Нужно найти:

1. Площадь треугольника (ABC),
2. Высоту (h_c), проведённую к стороне (BC).

I. Найдём длину отрезка (AD).

Так как (AC = AD + DC), обозначим (AD = x). Треугольник (ABD) прямоугольный ((BD) — высота, проведённая из вершины (B)).

В прямоугольном треугольнике (ABD), угол (\angle A = 45^\circ), а это значит, что катеты (AD) и (BD) пропорциональны (равны), так как в треугольнике с углом (45^\circ) катеты равны. Следовательно: [ AD = BD = x. ]

II. Найдём длину стороны (AC).

Сторона (AC) состоит из двух отрезков: [ AC = AD + DC = x + 12. ]

III. Найдём площадь треугольника (ABC).

Площадь треугольника можно найти через формулу: [ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_c, ] где (BC = 13 \, \text{см}), а (h_c = BD) — высота, проведённая к стороне (BC). Но пока (BD) неизвестно, мы используем другой способ вычисления площади: через высоту (BD), опущенную на (AC).

Площадь треугольника (ABC) также можно найти как: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD. ]

Подставим: [ S = \frac{1}{2} \cdot (x + 12) \cdot x. ]

IV. Используем теорему Пифагора в треугольнике (ABC).

Применим теорему Пифагора к треугольнику (ABC), где (AB), (BC), и (AC) — стороны. По теореме Пифагора: [ AB^2 + AC^2 = BC^2. ]

Так как (\angle A = 45^\circ), это накладывает ограничения на треугольник (ABC). Решением является равнобедренный прямоугольный треугольник, где высоты и стороны легко выразимы.