Давайте разберем каждое задание подробно.
Задача 1:
В параллелограмме один из углов равен 45°, а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь.
Площадь параллелограмма рассчитывается по формуле:
[
S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha),
]
где (a) и (b) — длины сторон, а (\alpha) — угол между ними.
Подставляем известные данные:
[
a = 5 \, \text{см}, \, b = 8 \, \text{см}, \, \alpha = 45^\circ.
]
Значение (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}). Тогда:
[
S = 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \, \text{см}^2.
]
Ответ: (S = 20\sqrt{2} \, \text{см}^2.)
Задача 2:
В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями (30^\circ). Найдите площадь прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны и пересекаются под углом. Формула площади через диагонали:
[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha),
]
где (d_1) и (d_2) — длины диагоналей (в прямоугольнике (d_1 = d_2 = 12)), а (\alpha = 30^\circ) — угол между ними.
Подставляем значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ).
]
Известно, что (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}). Тогда:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = \frac{144}{4} = 36 \, \text{см}^2.
]
Ответ: (S = 36 \, \text{см}^2.)
Задача 3:
Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен (45^\circ).
Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними:
[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha),
]
где (d_1) и (d_2) — диагонали, (\alpha = 45^\circ).
Подставляем значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(45^\circ).
]
Значение (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}). Тогда:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 12\sqrt{2} \, \text{см}^2.
]
Ответ: (S = 12\sqrt{2} \, \text{см}^2.)
Задача 4:
В треугольнике (MNK) (Z_N = 150^\circ), (MN = 4 \, \text{см}), (NK = 6 \, \text{см}), (NE) — биссектриса. Найдите площадь треугольников (MNE) и (NKE).
1. Площадь треугольника (MNK):
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
[
S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NK \cdot \sin(Z_N).
]
Подставляем значения:
[
MN = 4 \, \text{см}, \, NK = 6 \, \text{см}, \, Z_N = 150^\circ, \, \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.
]
Тогда:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{24}{4} = 6 \, \text{см}^2.
]
2. Длины отрезков (ME) и (EK):
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению сторон треугольника:
[
\frac{ME}{EK} = \frac{MN}{NK} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
]
Обозначим (ME = 2x) и (EK = 3x). Тогда:
[
ME + EK = MK.
]
Но (MK) неизвестно. Поскольку площади треугольников (MNE) и (NKE) пропорциональны длинам (ME) и (EK), их площади будут в отношении (2:3).
3. Площади треугольников:
Общая площадь (MNK = 6 \, \text{см}^2). Площади (MNE) и (NKE):
[
S{MNE} = \frac{2}{5} \cdot 6 = 2.4 \, \text{см}^2, \quad S{NKE} = \frac{3}{5} \cdot 6 = 3.6 \, \text{см}^2.
]
Ответ: (S{MNE} = 2.4 \, \text{см}^2, \, S{NKE} = 3.6 \, \text{см}^2.)
Задача 5:
Медианы (\triangle ABC) пересекаются в точке (O), (Z_{ABC} = 30^\circ), (AB = 4 \, \text{см}), (BC = 6 \, \text{см}). Найдите произведение площадей треугольников (AOC), (BOC), (BOA).
1. Площадь (\triangle ABC):
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
[
S{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(Z{ABC}).
]
Подставляем значения:
[
AB = 4 \, \text{см}, \, BC = 6 \, \text{см}, \, Z{ABC} = 30^\circ, \, \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.
]
Тогда:
[
S{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{24}{4} = 6 \, \text{см}^2.
]
2. Связь медиан с площадями:
Медианы разбивают треугольник на 6 равновеликих частей. Площадь каждого маленького треугольника:
[
S{\text{маленький}} = \frac{S{ABC}}{6} = \frac{6}{6} = 1 \, \text{см}^2.
]
3. Площади треугольников:
[
S{AOC} = 2 \, \text{см}^2, \, S{BOC} = 2 \, \text{см}^2, \, S_{BOA} = 2 \, \text{см}^2.
]
4. Произведение площадей:
[
P = S{AOC} \cdot S{BOC} \cdot S_{BOA} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \, \text{см}^6.
]
Ответ: (P = 8 \, \text{см}^6.)
Если есть вопросы — уточняйте!
