1) Точки А и В лежат соответственно на сторонах NK и KP трапеции MNKP так, что NA=AK, 2KB = BP. Выразить...

Для начала, обозначим векторы MA, MB и AB как m, n и ab соответственно. Также обозначим векторы NA и AK как na и ak, а векторы KB и BP как kb и bp.

Из условия задачи следует, что NA = AK, то есть na = ak. Также известно, что 2KB = BP, что означает, что kb = 0.5bp.

Так как основание NK равно половине MP, то можно выразить векторы MP и MN через векторы a и b: MP = 2a MN = a + b

Теперь выразим векторы MA, MB и AB через векторы a и b: m = MA = NA - NM = na - MN = na - (a + b) = na - a - b n = MB = MP - BP = 2a - BP = 2a - 2kb = 2a - bp ab = AB = MB - MA = 2a - bp - (na - a - b) = 2a - bp - na + a + b = 3a - bp - na

Таким образом, векторы MA, MB и AB выражены через векторы a и b.

Для решения задачи воспользуемся свойствами трапеции и векторной алгеброй.

1. Рассмотрим трапецию ( MNKP ) с основаниями ( NK ) и ( MP ), где ( NK = \frac{1}{2} MP ). Обозначим ( a = \overrightarrow{MN} ) и ( b = \overrightarrow{MP} ).

2. Точки ( A ) и ( B ) лежат на сторонах ( NK ) и ( KP ) соответственно.

3. Поскольку ( NA = AK ), точка ( A ) делит отрезок ( NK ) пополам. Таким образом, вектор ( \overrightarrow{NA} ) можно выразить как: [ \overrightarrow{NA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NK} ] Но ( \overrightarrow{NK} ) — это половина вектора ( b ), так как ( NK = \frac{1}{2} MP ). Следовательно, [ \overrightarrow{NK} = \frac{1}{2} b ] и [ \overrightarrow{NA} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} b \right) = \frac{1}{4} b ]

4. Вектор ( \overrightarrow{MA} ) выражается через сумму векторов ( \overrightarrow{MN} ) и ( \overrightarrow{NA} ): [ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NA} = a + \frac{1}{4} b ]

5. Теперь рассмотрим точку ( B ) на стороне ( KP ). Поскольку ( 2KB = BP ), точка ( B ) делит отрезок ( KP ) в отношении ( 2:1 ). То есть: [ \overrightarrow{KB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{KP} ] и [ \overrightarrow{BP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{KP} ]

6. Вектор ( \overrightarrow{KP} ) можно выразить через ( b ) и ( a ). Поскольку ( KP = MP - NK = b - \frac{1}{2} b = \frac{1}{2} b ): [ \overrightarrow{KP} = \frac{1}{2} b ] и [ \overrightarrow{KB} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} b \right) = \frac{1}{3} b ]

7. Вектор ( \overrightarrow{MB} ) выражается через сумму векторов ( \overrightarrow{MK} ) и ( \overrightarrow{KB} ): [ \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NK} = a + \frac{1}{2} b ] [ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB} = \left( a + \frac{1}{2} b \right) + \frac{1}{3} b = a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{3} b = a + \frac{5}{6} b ]

8. Теперь найдем вектор ( \overrightarrow{AB} ) как разность векторов ( \overrightarrow{MB} ) и ( \overrightarrow{MA} ): [ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} = \left( a + \frac{5}{6} b \right) - \left( a + \frac{1}{4} b \right) = \frac{5}{6} b - \frac{1}{4} b ]

9. Приведем разность к общему знаменателю: [ \overrightarrow{AB} = \frac{5}{6} b - \frac{1}{4} b = \frac{10}{12} b - \frac{3}{12} b = \frac{7}{12} b ]

Таким образом, выражения для векторов ( \overrightarrow{MA} ), ( \overrightarrow{MB} ) и ( \overrightarrow{AB} ) через векторы ( a ) и ( b ) следующие: [ \overrightarrow{MA} = a + \frac{1}{4} b ] [ \overrightarrow{MB} = a + \frac{5}{6} b ] [ \overrightarrow{AB} = \frac{7}{12} b ]