Давайте разберем каждый из вопросов по отдельности.
1) Найдите длину бокового ребра пирамиды KABCD
У нас есть пирамида с прямоугольным основанием ABCD и вершиной K. Периметр основания равен 64. Пусть стороны прямоугольника равны (a) и (b). Тогда:
[ 2(a + b) = 64 ]
[ a + b = 32 ]
Высота пирамиды равна 3, и высота грани AKD (перпендикуляр от K к плоскости треугольника AKD) равна 5. Пусть длина бокового ребра равна (L). Так как все боковые ребра равны, то треугольник AKD равнобедренный, и высота из K делит его на два прямоугольных треугольника.
Используем теорему Пифагора для треугольника AKD:
[ KD^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + 5^2 ]
Где (d) — длина диагонали прямоугольника ABCD. Диагональ (d) можно выразить через стороны прямоугольника:
[ d = \sqrt{a^2 + b^2} ]
Также, высота пирамиды 3 является перпендикуляром из K на плоскость основания, и совпадает с высотой (h) треугольника KAB, KBC, KCD, или KDA:
[ L^2 = 3^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 ]
Теперь решаем систему уравнений:
- ( a + b = 32 )
- ( d = \sqrt{a^2 + b^2} )
- ( L^2 = 9 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 )
2) Найдите площадь полной поверхности пирамиды QABCD
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами (AB = 3) см и (BC = 4) см. Высота QA перпендикулярна основанию, и плоскость QBD образует с основанием угол 45 градусов.
Чтобы найти высоту Q, используем тангенс угла:
[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h_Q}{BD} ]
[ BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 ]
[ h_Q = BD = 5 ]
Площадь полной поверхности пирамиды:
[
S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}}
]
[ S_{\text{осн}} = AB \times BC = 3 \times 4 = 12 ]
Боковая поверхность состоит из четырех треугольников. Воспользуемся площадью боковой грани (S_{\Delta QAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_Q = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7.5).
Суммарная площадь боковых граней:
[ S{\text{бок}} = 2 \times S{\Delta QAB} + 2 \times S_{\Delta QBC} = 2 \times 7.5 + 2 \times 10 = 35 ]
Полная площадь:
[ S = 12 + 35 = 47 ]
3) Площадь полной поверхности пирамиды с основанием-ромбом
Основание — ромб с диагональю (d) и острым углом (\alpha). Площадь ромба:
[ S_{\text{осн}} = \frac{d^2}{2} \cdot \sin(\alpha) ]
Для нахождения площади боковой поверхности, мы должны рассмотреть боковые грани — все они равнобедренные треугольники. Длина ребра (l) можно найти из условия наклона боковых граней к основанию под углом (\beta).
Высота боковой грани из вершины пирамиды проведена на сторону основания:
[ h_{\text{бок}} = l \cdot \sin(\beta) ]
Площадь одной боковой грани равна:
[ S{\text{бок,1}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l \cdot \sin(\beta) ]
Площадь боковой поверхности всех граней:
[ S{\text{бок}} = 4 \cdot S{\text{бок,1}} = 2 \cdot a \cdot l \cdot \sin(\beta) ]
Итак, полная площадь пирамиды:
[ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{d^2}{2} \cdot \sin(\alpha) + 2 \cdot a \cdot l \cdot \sin(\beta) ]
Таким образом, нужно знать длину стороны ромба (a), что можно выразить через диагонали, если известно.
