1. Начертить вектор х такой что |вектор х|=2см. Постройте векторы 3х, -2х, 1/2х 2. Решите задачу: Дано:...

1. Векторы 3х, -2х, 1/2х будут иметь длины 6 см, -4 см, 1 см соответственно.
2. Вектор ОС = 1/3$2b-a$, вектор СК = 2/3$2b-a$
3. Векторы а и b не коллинеарны. а) 1/2а + 3b б) 2b - a
4. Векторы АО = 1/2$a+b$, АК = 1/2$a-b$, KD = -b

1. Чтобы начертить вектор х длиной 2 см, нужно взять линейку и отложить на ней отрезок длиной 2 см. Далее, чтобы построить векторы 3х, -2х, 1/2х, нужно умножить вектор х на соответствующий коэффициент. То есть:

   • вектор 3х будет иметь длину 6 см $3\ast 2см$,
   • вектор -2х будет иметь направление противоположное вектору х и длину 4 см $-2\ast 2см$,
   • вектор 1/2х будет иметь длину 1 см $1/2\ast 2см$.

2. Для решения задачи с параллелограммом ABCD, где К принадлежит АВ, АК:КВ=2:1, АС параллельно BD=0, вектор a= вектор AB, вектор b= вектор AD, можно выразить векторы ОС и СК следующим образом:

   • Вектор ОС = Вектор AC - Вектор AO
   • Вектор СК = 2/3 * Вектор AC

3. Начертить 2 неколлинеарных вектора а и b можно, например, взять две неколлинеарные линейки и провести два отрезка. Построить векторы: а) 1/2а + 3b будет равен вектору, который получается при сложении вектора, равного половине длины вектора а, и вектора, равного 3 раза длины вектора b. б) 2b - a будет равен вектору, который получается при вычитании вектора a из вектора, равного удвоенной длине вектора b.

4. Для задачи с ромбом ABCD, где К принадлежит BC, BK=KC, AC принадлежит BD=0, вектор а=вектор AB, вектор b=вектор AD, можно выразить векторы АО, АК, KD через векторы a и b следующим образом:

   • Вектор АО = -1/2 Вектор AB - 1/2 Вектор AD
   • Вектор АК = 1/3 Вектор AB + 2/3 Вектор AD
   • Вектор KD = 1/3 Вектор AB - 1/3 Вектор AD

Давайте разберем каждый из вопросов последовательно.

Вопрос 1:

Начертить вектор $\mathbf{x}$ такой, что $|\mathbf{x}|=2\text{см}$. Постройте векторы $3\mathbf{x},-2\mathbf{x},\frac{1}{2}\mathbf{x}$.

1. Начертите вектор $\mathbf{x}$:

   • Отложите отрезок длиной 2 см в любом направлении, обозначив его стрелкой.
   • Назовите его $\mathbf{x}$.

2. Построение вектора $3\mathbf{x}$:

   • Увеличьте длину вектора $\mathbf{x}$ в 3 раза. Длина нового вектора будет $3\times 2\text{см}=6\text{см}$.
   • Направление вектора останется таким же, как у $\mathbf{x}$.

3. Построение вектора $-2\mathbf{x}$:

   • Увеличьте длину вектора $\mathbf{x}$ в 2 раза, получив длину нового вектора $2\times 2\text{см}=4\text{см}$.
   • Направление нового вектора будет противоположно направлению вектора $\mathbf{x}$.

4. Построение вектора $\frac{1}{2}\mathbf{x}$:

   • Уменьшите длину вектора $\mathbf{x}$ в 2 раза. Длина нового вектора будет $\frac{1}{2}\times 2\text{см}=1\text{см}$.
   • Направление вектора останется таким же, как у $\mathbf{x}$.

Вопрос 2:

Решите задачу:

• Дано:

  • $ABCD$ — параллелограмм.
  • $K$ принадлежит $AB$.
  • $AK:KB=2:1$.
  • $AC\parallel BD$.
  • $\mathbf{a}=\mathbf{AB}$.
  • $\mathbf{b}=\mathbf{AD}$.

• Выразить векторы $\mathbf{OC}$ и $\mathbf{CK}$.

1. Вектор $\mathbf{OC}$:

   • Вектор $\mathbf{OC}$ равен $\mathbf{OA}+\mathbf{AC}$.
   • Вектор $\mathbf{AC}$ равен сумме $\mathbf{AB}+\mathbf{BC}$.
   • Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\mathbf{BC}$ равно $\mathbf{AD}$.
   • Тогда $\mathbf{AC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.
   • Вектор $\mathbf{OC}=\mathbf{OA}+\mathbf{AC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.

2. Вектор $\mathbf{CK}$:

   • Вектор $\mathbf{CK}=\mathbf{CA}+\mathbf{AK}$.
   • $\mathbf{CA}=-\mathbf{AC}=-(\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ).
   • Точка $K$ делит $AB$ в отношении $2:1$, значит $\mathbf{AK}=\frac{2}{3}\mathbf{a}$.
   • Тогда $\mathbf{CK}=-(\mathbf{a}+\mathbf{b}$ + \frac{2}{3}\mathbf{a} = -\mathbf{a} - \mathbf{b} + \frac{2}{3}\mathbf{a} = -\frac{1}{3}\mathbf{a} - \mathbf{b} ).

Вопрос 3:

Начертите 2 неколлинеарных вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Постройте векторы:

• $\frac{1}{2}\mathbf{a}+3\mathbf{b}$
• $2\mathbf{b}-\mathbf{a}$

1. Начертите векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

   • Возьмите две произвольные точки $A$ и $B$, начертите вектор $\mathbf{a}$ от $A$ к $B$.
   • Возьмите две другие произвольные точки $C$ и $D$, начертите вектор $\mathbf{b}$ от $C$ к $D$.
   • Убедитесь, что $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ не коллинеарны $непараллельны$.

2. Построение вектора $\frac{1}{2}\mathbf{a}+3\mathbf{b}$:

   • Постройте вектор $\frac{1}{2}\mathbf{a}$, который равен половине длины вектора $\mathbf{a}$ и направлен так же, как $\mathbf{a}$.
   • Постройте вектор $3\mathbf{b}$, который равен тройной длине вектора $\mathbf{b}$ и направлен так же, как $\mathbf{b}$.
   • Сложите эти два вектора геометрически: начальный конец $3\mathbf{b}$ присоедините к концу $\frac{1}{2}\mathbf{a}$.
   • Вектор, соединяющий начало $\frac{1}{2}\mathbf{a}$ и конец $3\mathbf{b}$, будет вектором $\frac{1}{2}\mathbf{a}+3\mathbf{b}$.

3. Построение вектора $2\mathbf{b}-\mathbf{a}$:

   • Постройте вектор $2\mathbf{b}$, который равен двойной длине вектора $\mathbf{b}$ и направлен так же, как $\mathbf{b}$.
   • Постройте вектор $-\mathbf{a}$, который равен вектору $\mathbf{a}$ по длине, но направлен в противоположную сторону.
   • Сложите эти два вектора геометрически: начальный конец $-\mathbf{a}$ присоедините к концу $2\mathbf{b}$.
   • Вектор, соединяющий начало $2\mathbf{b}$ и конец $-\mathbf{a}$, будет вектором $2\mathbf{b}-\mathbf{a}$.

Вопрос 4:

Решите задачу:

• Дано:

  • $ABCD$ — ромб.
  • $K$ принадлежит $BC$.
  • $BK=KC$.
  • $AC\parallel BD$.
  • $\mathbf{a}=\mathbf{AB}$.
  • $\mathbf{b}=\mathbf{AD}$.

• Выразить векторы $\mathbf{AO},\mathbf{AK},\mathbf{KD}$ через векторы $\mathbf{a},\mathbf{b}$.

1. Вектор $\mathbf{AO}$:

   • В ромбе диагонали пересекаются в точке $O$ и делятся пополам.
   • $\mathbf{AO}=\frac{1}{2}\mathbf{AC}$.
   • Вектор $\mathbf{AC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.
   • Тогда $\mathbf{AO}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}$ = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} ).

2. Вектор $\mathbf{AK}$:

   • Точка $K$ делит $BC$ пополам, значит $BK=KC$.
   • Вектор $\mathbf{BK}=\frac{1}{2}\mathbf{BC}$.
   • В ромбе $\mathbf{BC}=\mathbf{AD}$, значит $\mathbf{BK}=\frac{1}{2}\mathbf{b}$.
   • Тогда $\mathbf{AK}=\mathbf{AB}+\mathbf{BK}=\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}$.

3. Вектор $\mathbf{KD}$:

   • $\mathbf{KD}=\mathbf{KC}+\mathbf{CD}$.
   • Поскольку $K$ делит $BC$ пополам, $\mathbf{KC}=\frac{1}{2}\mathbf{BC}=\frac{1}{2}\mathbf{b}$.
   • $\mathbf{CD}=\mathbf{AD}$.
   • Тогда $\mathbf{KD}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{b}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{b}=\frac{3}{2}\mathbf{b}$.

Таким образом, все задачи решены, и векторы построены и выражены через заданные векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.