1. Начертить вектор х такой что |вектор х|=2см. Постройте векторы 3х, -2х, 1/2х 2. Решите задачу: Дано:...

1. Векторы 3х, -2х, 1/2х будут иметь длины 6 см, -4 см, 1 см соответственно.
2. Вектор ОС = 1/3(2b-a), вектор СК = 2/3(2b-a)
3. Векторы а и b не коллинеарны. а) 1/2а + 3b б) 2b - a
4. Векторы АО = 1/2(a+b), АК = 1/2(a-b), KD = -b

1. Чтобы начертить вектор х длиной 2 см, нужно взять линейку и отложить на ней отрезок длиной 2 см. Далее, чтобы построить векторы 3х, -2х, 1/2х, нужно умножить вектор х на соответствующий коэффициент. То есть:

   • вектор 3х будет иметь длину 6 см (3 * 2 см),
   • вектор -2х будет иметь направление противоположное вектору х и длину 4 см (-2 * 2 см),
   • вектор 1/2х будет иметь длину 1 см (1/2 * 2 см).

2. Для решения задачи с параллелограммом ABCD, где К принадлежит АВ, АК:КВ=2:1, АС параллельно BD=0, вектор a= вектор AB, вектор b= вектор AD, можно выразить векторы ОС и СК следующим образом:

   • Вектор ОС = Вектор AC - Вектор AO
   • Вектор СК = 2/3 * Вектор AC

3. Начертить 2 неколлинеарных вектора а и b можно, например, взять две неколлинеарные линейки и провести два отрезка. Построить векторы: а) 1/2а + 3b будет равен вектору, который получается при сложении вектора, равного половине длины вектора а, и вектора, равного 3 раза длины вектора b. б) 2b - a будет равен вектору, который получается при вычитании вектора a из вектора, равного удвоенной длине вектора b.

4. Для задачи с ромбом ABCD, где К принадлежит BC, BK=KC, AC принадлежит BD=0, вектор а=вектор AB, вектор b=вектор AD, можно выразить векторы АО, АК, KD через векторы a и b следующим образом:

   • Вектор АО = -1/2 Вектор AB - 1/2 Вектор AD
   • Вектор АК = 1/3 Вектор AB + 2/3 Вектор AD
   • Вектор KD = 1/3 Вектор AB - 1/3 Вектор AD

Давайте разберем каждый из вопросов последовательно.

Вопрос 1:

Начертить вектор ( \mathbf{x} ) такой, что ( |\mathbf{x}| = 2 \, \text{см} ). Постройте векторы ( 3\mathbf{x}, -2\mathbf{x}, \frac{1}{2}\mathbf{x} ).

1. Начертите вектор ( \mathbf{x} ):

   • Отложите отрезок длиной 2 см в любом направлении, обозначив его стрелкой.
   • Назовите его ( \mathbf{x} ).

2. Построение вектора ( 3\mathbf{x} ):

   • Увеличьте длину вектора ( \mathbf{x} ) в 3 раза. Длина нового вектора будет ( 3 \times 2 \, \text{см} = 6 \, \text{см} ).
   • Направление вектора останется таким же, как у ( \mathbf{x} ).

3. Построение вектора ( -2\mathbf{x} ):

   • Увеличьте длину вектора ( \mathbf{x} ) в 2 раза, получив длину нового вектора ( 2 \times 2 \, \text{см} = 4 \, \text{см} ).
   • Направление нового вектора будет противоположно направлению вектора ( \mathbf{x} ).

4. Построение вектора ( \frac{1}{2}\mathbf{x} ):

   • Уменьшите длину вектора ( \mathbf{x} ) в 2 раза. Длина нового вектора будет ( \frac{1}{2} \times 2 \, \text{см} = 1 \, \text{см} ).
   • Направление вектора останется таким же, как у ( \mathbf{x} ).

Вопрос 2:

Решите задачу:

• Дано:

  • ( ABCD ) — параллелограмм.
  • ( K ) принадлежит ( AB ).
  • ( AK : KB = 2:1 ).
  • ( AC \parallel BD ).
  • ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} ).
  • ( \mathbf{b} = \mathbf{AD} ).

• Выразить векторы ( \mathbf{OC} ) и ( \mathbf{CK} ).

1. Вектор ( \mathbf{OC} ):

   • Вектор ( \mathbf{OC} ) равен ( \mathbf{OA} + \mathbf{AC} ).
   • Вектор ( \mathbf{AC} ) равен сумме ( \mathbf{AB} + \mathbf{BC} ).
   • Поскольку ( ABCD ) — параллелограмм, ( \mathbf{BC} ) равно ( \mathbf{AD} ).
   • Тогда ( \mathbf{AC} = \mathbf{a} + \mathbf{b} ).
   • Вектор ( \mathbf{OC} = \mathbf{OA} + \mathbf{AC} = \mathbf{a} + \mathbf{b} ).

2. Вектор ( \mathbf{CK} ):

   • Вектор ( \mathbf{CK} = \mathbf{CA} + \mathbf{AK} ).
   • ( \mathbf{CA} = -\mathbf{AC} = -(\mathbf{a} + \mathbf{b}) ).
   • Точка ( K ) делит ( AB ) в отношении ( 2:1 ), значит ( \mathbf{AK} = \frac{2}{3}\mathbf{a} ).
   • Тогда ( \mathbf{CK} = -(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \frac{2}{3}\mathbf{a} = -\mathbf{a} - \mathbf{b} + \frac{2}{3}\mathbf{a} = -\frac{1}{3}\mathbf{a} - \mathbf{b} ).

Вопрос 3:

Начертите 2 неколлинеарных вектора ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ). Постройте векторы:

• ( \frac{1}{2}\mathbf{a} + 3\mathbf{b} )
• ( 2\mathbf{b} - \mathbf{a} )

1. Начертите векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

   • Возьмите две произвольные точки ( A ) и ( B ), начертите вектор ( \mathbf{a} ) от ( A ) к ( B ).
   • Возьмите две другие произвольные точки ( C ) и ( D ), начертите вектор ( \mathbf{b} ) от ( C ) к ( D ).
   • Убедитесь, что ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) не коллинеарны (не параллельны).

2. Построение вектора ( \frac{1}{2}\mathbf{a} + 3\mathbf{b} ):

   • Постройте вектор ( \frac{1}{2}\mathbf{a} ), который равен половине длины вектора ( \mathbf{a} ) и направлен так же, как ( \mathbf{a} ).
   • Постройте вектор ( 3\mathbf{b} ), который равен тройной длине вектора ( \mathbf{b} ) и направлен так же, как ( \mathbf{b} ).
   • Сложите эти два вектора геометрически: начальный конец ( 3\mathbf{b} ) присоедините к концу ( \frac{1}{2}\mathbf{a} ).
   • Вектор, соединяющий начало ( \frac{1}{2}\mathbf{a} ) и конец ( 3\mathbf{b} ), будет вектором ( \frac{1}{2}\mathbf{a} + 3\mathbf{b} ).

3. Построение вектора ( 2\mathbf{b} - \mathbf{a} ):

   • Постройте вектор ( 2\mathbf{b} ), который равен двойной длине вектора ( \mathbf{b} ) и направлен так же, как ( \mathbf{b} ).
   • Постройте вектор ( -\mathbf{a} ), который равен вектору ( \mathbf{a} ) по длине, но направлен в противоположную сторону.
   • Сложите эти два вектора геометрически: начальный конец ( -\mathbf{a} ) присоедините к концу ( 2\mathbf{b} ).
   • Вектор, соединяющий начало ( 2\mathbf{b} ) и конец ( -\mathbf{a} ), будет вектором ( 2\mathbf{b} - \mathbf{a} ).

Вопрос 4:

Решите задачу:

• Дано:

  • ( ABCD ) — ромб.
  • ( K ) принадлежит ( BC ).
  • ( BK = KC ).
  • ( AC \parallel BD ).
  • ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} ).
  • ( \mathbf{b} = \mathbf{AD} ).

• Выразить векторы ( \mathbf{AO}, \mathbf{AK}, \mathbf{KD} ) через векторы ( \mathbf{a}, \mathbf{b} ).

1. Вектор ( \mathbf{AO} ):

   • В ромбе диагонали пересекаются в точке ( O ) и делятся пополам.
   • ( \mathbf{AO} = \frac{1}{2}\mathbf{AC} ).
   • Вектор ( \mathbf{AC} = \mathbf{a} + \mathbf{b} ).
   • Тогда ( \mathbf{AO} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} ).

2. Вектор ( \mathbf{AK} ):

   • Точка ( K ) делит ( BC ) пополам, значит ( BK = KC ).
   • Вектор ( \mathbf{BK} = \frac{1}{2}\mathbf{BC} ).
   • В ромбе ( \mathbf{BC} = \mathbf{AD} ), значит ( \mathbf{BK} = \frac{1}{2}\mathbf{b} ).
   • Тогда ( \mathbf{AK} = \mathbf{AB} + \mathbf{BK} = \mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} ).

3. Вектор ( \mathbf{KD} ):

   • ( \mathbf{KD} = \mathbf{KC} + \mathbf{CD} ).
   • Поскольку ( K ) делит ( BC ) пополам, ( \mathbf{KC} = \frac{1}{2}\mathbf{BC} = \frac{1}{2}\mathbf{b} ).
   • ( \mathbf{CD} = \mathbf{AD} ).
   • Тогда ( \mathbf{KD} = \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{b} = \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{b} = \frac{3}{2}\mathbf{b} ).

Таким образом, все задачи решены, и векторы построены и выражены через заданные векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).