- Дан параллелограмм ABCD. Прямые АА1 и СС1 не лежат в плоскости параллелограмма и прямые АА1 и СС1 параллельны. Доказать, что (А1АД) параллельно (С1СВ).
Рассмотрим параллелограмм ABCD и прямые AA1 и CC1, которые параллельны и не лежат в плоскости параллелограмма. Нам нужно доказать, что плоскость, проходящая через точки A1, A и D, параллельна плоскости, проходящей через точки C1, C и B.
Для этого рассмотрим следующее:
- Прямая AA1 параллельна прямой CC1.
- Прямая AD принадлежит плоскости (A1AD).
- Прямая CB принадлежит плоскости (C1CB).
Поскольку AA1 параллельна CC1, то любой вектор, лежащий на AA1, будет параллелен вектору, лежащему на CC1. В частности, вектор (\overrightarrow{AA1}) параллелен вектору (\overrightarrow{CC1}).
Теперь рассмотрим плоскость (A1AD). Она определяется векторами (\overrightarrow{A1A}) и (\overrightarrow{AD}).
Аналогично, плоскость (C1CB) определяется векторами (\overrightarrow{C1C}) и (\overrightarrow{CB}).
Поскольку (\overrightarrow{A1A} \parallel \overrightarrow{C1C}) и (\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{CB}) (так как ABCD - параллелограмм), то плоскости (A1AD) и (C1CB) будут параллельны.
Таким образом, (A1AD) параллельно (C1CB), что и требовалось доказать.
- Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 не лежат в одной плоскости. Доказать, что (СВС1) и (DAD1) параллельны.
Рассмотрим параллелограммы ABCD и A1B1C1D1, которые не лежат в одной плоскости. Необходимо доказать, что плоскость, проходящая через точки C, B и C1, параллельна плоскости, проходящей через точки D, A и D1.
Для этого рассмотрим:
- Прямую BC, которая принадлежит плоскости (CBC1).
- Прямую AD, которая принадлежит плоскости (DAD1).
Поскольку ABCD и A1B1C1D1 - параллелограммы и не лежат в одной плоскости, то:
- Прямая BC параллельна прямой AD.
- Прямая CC1 параллельна прямой DD1 (так как они являются противоположными сторонами параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно).
Рассмотрим плоскость (CBC1). Она определяется векторами (\overrightarrow{CB}) и (\overrightarrow{CC1}).
Аналогично, плоскость (DAD1) определяется векторами (\overrightarrow{AD}) и (\overrightarrow{DD1}).
Поскольку (\overrightarrow{CB} \parallel \overrightarrow{AD}) и (\overrightarrow{CC1} \parallel \overrightarrow{DD1}), то плоскости (CBC1) и (DAD1) будут параллельны.
Таким образом, (CBC1) параллельно (DAD1), что и требовалось доказать.
- Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что МА1=4 см, В1В2=9 см, А1А2=МВ1. Найдите МА2 и МВ2.
Рассмотрим плоскости (\alpha) и (\beta) которые параллельны между собой. Точка M не лежит ни в одной из этих плоскостей и не находится между ними. Пусть M находится выше плоскости (\alpha) и ниже плоскости (\beta).
Пусть прямые, проходящие через точку M, пересекают плоскость (\alpha) в точках A1 и B1, а плоскость (\beta) в точках A2 и B2 соответственно.
Из условий задачи известно:
- (MA1 = 4) см,
- (B1B2 = 9) см,
- (A1A2 = MB1).
Нам нужно найти (MA2) и (MB2).
Используем свойства параллельных плоскостей и подобие треугольников. Треугольники (MA1A2) и (MB1B2) подобны, так как углы, образованные пересечением прямых с параллельными плоскостями, равны.
Из подобия треугольников:
[
\frac{MA2}{MA1} = \frac{A1A2}{MA1} = \frac{B1B2}{MB1}
]
Из условий задачи (A1A2 = MB1). Обозначим (MB1) через (x). Тогда (A1A2 = x).
Подставим значения:
[
\frac{MA2}{4} = \frac{x}{4} = \frac{9}{x}
]
Решаем уравнение:
[
x^2 = 36 \implies x = 6
]
Следовательно, (MB1 = 6) см и (A1A2 = 6) см.
Теперь найдем (MA2):
[
MA2 = \frac{4 \times 9}{6} = 6 \text{ см}
]
Таким образом, (MA2 = 6) см и (MB2 = MB1 + B1B2 = 6 + 9 = 15) см.
- Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, основанием которого является ромб ABCD, угол BAD = 30 градусов, AB = 18, BB1 = 12. Найдите площадь A1B1C1D.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Основанием параллелепипеда является ромб ABCD с углом BAD = 30 градусов и стороной AB = 18 см. Высота параллелепипеда (BB1 = 12) см.
Для нахождения площади грани A1B1C1D1 (которая является верхней гранью, параллельной основанию ABCD), нужно найти площадь основания и высоту.
Площадь ромба (основания параллелепипеда) (S) можно найти по формуле:
[
S = AB \times AD \times \sin(30^\circ)
]
Так как ромб, то (AB = AD = 18) см. Подставим значения:
[
S = 18 \times 18 \times \sin(30^\circ) = 18 \times 18 \times \frac{1}{2} = 18 \times 9 = 162 \text{ см}^2
]
Таким образом, площадь грани A1B1C1D1 равна площади основания ABCD, так как это параллельные и равные по площади грани прямоугольного параллелепипеда.
Следовательно, площадь грани A1B1C1D1 равна 162 см^2.
