Для нахождения высоты призмы можно воспользоваться теоремой косинусов. Пусть h - высота призмы, а l - длина бокового ребра. Тогда по теореме косинусов: l^2 = h^2 + (l/2)^2 - 2h(l/2)cos(60°) 36 = h^2 + l^2/4 - hlcos(60°) 36 = h^2 + l^2/4 - hl*0.5 36 = h^2 + l^2/4 - 0.5hl 36 = h^2 + 9 - 3h h^2 - 3h + 9 - 36 = 0 h^2 - 3h - 27 = 0 (h - 6)(h + 3) = 0 h = 6 или h = -3 Так как высота не может быть отрицательной, то h = 6 см.
Пусть а - длина ребра прямоугольной призмы. Так как все ребра равны, то площадь боковой поверхности равна 4ah, где h - высота призмы. По условию задачи площадь боковой поверхности равна 27 см^2, значит: 4ah = 27 ah = 27/4 Так как прямоугольная призма имеет 6 боковых поверхностей, то площадь полной поверхности призмы равна: S = 4ah + 2a^2 S = 4(27/4) + 2(27/4) S = 27 + 27/2 S = 27 + 13.5 S = 40.5 см^2.
Давайте разберем оба вопроса по порядку.
У нас есть боковое ребро призмы, которое наклонено к плоскости основания под углом 60°, и его длина равна 6 см. Нам нужно найти высоту призмы.
Когда боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, высота призмы (h) может быть найдена с использованием тригонометрии, а именно через косинус угла наклона:
[ h = l \cdot \cos(\theta) ]
где ( l ) — длина бокового ребра (6 см), а ( \theta ) — угол наклона (60°).
Косинус 60° равен 0.5, поэтому:
[ h = 6 \cdot 0.5 = 3 \text{ см} ]
Таким образом, высота призмы равна 3 см.
У нас есть прямая треугольная призма, в которой все ребра равны, и площадь боковой поверхности равна 27 см². Нам нужно найти площадь полной поверхности призмы.
Пусть длина каждого ребра призмы равна ( a ). В прямой треугольной призме боковая поверхность состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равную ( a ) (высота призмы) и другую, равную периметру основания, который для равностороннего треугольника тоже будет ( a ).
Площадь боковой поверхности составляется из трех таких прямоугольников:
[ 3a^2 = 27 ]
Отсюда находим ( a ):
[ a^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \text{ см} ]
Теперь найдем площадь основания. Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной 3 см. Площадь такого треугольника можно найти по формуле:
[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ]
Подставим ( a = 3 ):
[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 ]
Поскольку у призмы два таких основания, площадь двух оснований будет:
[ 2S_{\text{основания}} = 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 ]
Полная площадь поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и площади двух оснований:
[ S_{\text{полной поверхности}} = 27 + \frac{9\sqrt{3}}{2} ]
Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна ( 27 + \frac{9\sqrt{3}}{2} ) см².
